Để giải bài toán, ta thực hiện theo từng yêu cầu:

### a) Chứng minh \( OM \) vuông góc với \( AB \) tại \( H \).

1. Gọi \( MA \) và \( MB \) là hai tiếp tuyến từ \( M \) đến đường tròn \( (O; R) \).
2. Tính chất của tiếp tuyến cho ta \( OM \perp MA \) và \( OM \perp MB \).
3. Do \( MA \) và \( MB \) đều là tiếp tuyến nên \( OA \perp MA \) và \( OB \perp MB \).
4. Từ \( H \) là giao điểm của \( OM \) và \( AB \), ta có \( HA \) và \( HB \) là các đoạn nối từ \( H \) đến \( A \) và \( B \).
5. Ta có tứ giác \( OMAH \) là hình chữ nhật, suy ra \( OM \perp AB \) tại \( H \).

### b) Chứng minh tứ giác \( AOBC \) là hình thoi.

1. Ta đã biết rằng \( OA = OB = R \) (bán kính đường tròn).
2. Do \( OM = 2R \) và \( OM \perp AB \), các tiếp điểm \( A, B \) đều nằm trên cùng một đường thẳng và \( AC = BC \).
3. Trong tứ giác \( AOBC \), ta có \( OA = OB \) và \( AC = BC \).
4. Hơn nữa, \( AH = BH \) do \( H \) là trung điểm của \( AB \).
5. Suy ra \( AO = OB \) và \( AC = BC \), vì vậy \( AOBC \) là hình thoi.

### c) Chứng minh 3 điểm \( M, N, K \) thẳng hàng.

1. Gọi \( D \) là điểm trên tia đối của \( AB \) (khác \( A \)), vẽ hai tiếp tuyến \( DN \) và \( DK \) với đường tròn \( (O; R) \).
2. Tương tự như trước, ta có \( ON \perp DN \) và \( OK \perp DK \).
3. Do \( D \) nằm trên tia đối nên tam giác \( DNM \) và \( DKP \) đều đồng dạng với tam giác \( OAB \) và có tính chất tương tự với các đường kính.
4. Ta có \( DN \parallel MA \) và \( DK \parallel MB \), vì vậy \( M, N, K \) nằm trên cùng một đường thẳng.

Kết luận: 3 điểm \( M, N, K \) thẳng hàng.