Để tính tổng:

\[
S = \frac{1}{10} + \frac{1}{40} + \frac{1}{88} + \frac{1}{154} + \frac{1}{238} + \frac{1}{340}
\]

Ta cần tìm một số chung smallest (CMS) cho các mẫu số 10, 40, 88, 154, 238, và 340 để có thể tổng hợp chúng lại với nhau.

Tính các ước số nguyên tố cho từng mẫu số:

- 10 = \(2 \times 5\)
- 40 = \(2^3 \times 5\)
- 88 = \(2^3 \times 11\)
- 154 = \(2 \times 7 \times 11\)
- 238 = \(2 \times 7 \times 17\)
- 340 = \(2^2 \times 5 \times 17\)

CMS = \(2^3 \times 5 \times 7 \times 11 \times 17\)

Tính giá trị CMS:

\[
CMS = 8 \times 5 \times 7 \times 11 \times 17
\]

Tính từng bước:

- \(8 \times 5 = 40\)
- \(40 \times 7 = 280\)
- \(280 \times 11 = 3080\)
- \(3080 \times 17 = 52360\)

Vậy CMS = 52360.

Bây giờ, tính từng phân số với mẫu số là 52360:

\[
S = \frac{52360 / 10}{52360} + \frac{52360 / 40}{52360} + \frac{52360 / 88}{52360} + \frac{52360 / 154}{52360} + \frac{52360 / 238}{52360} + \frac{52360 / 340}{52360}
\]

Các phần tử cho tổng:

- \(\frac{52360}{10} = 5236\)
- \(\frac{52360}{40} = 1309\)
- \(\frac{52360}{88} = 595\)
- \(\frac{52360}{154} = 340\)
- \(\frac{52360}{238} = 220\)
- \(\frac{52360}{340} = 154\)

Tính tổng các số này:

\[
S = \frac{5236 + 1309 + 595 + 340 + 220 + 154}{52360}
\]

Tổng các số ở tử:

- \(5236 + 1309 = 6545\)
- \(6545 + 595 = 6140\)
- \(6140 + 340 = 6480\)
- \(6480 + 220 = 6700\)
- \(6700 + 154 = 6854\)

Cuối cùng:

\[
S = \frac{6854}{52360}
\]

Kết quả có thể rút gọn, tuy nhiên kết quả gần đúng sẽ được giữ nguyên hoặc bạn có thể sử dụng máy tính để tìm ra giá trị chính xác hơn cho \(S\).

Chúc bạn thành công!