Để giải phương trình \( x(1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 10^2) = 385 \), trước tiên chúng ta sẽ tính giá trị của biểu thức \( 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 10^2 \).

Công thức tổng quát để tính tổng của bình phương các số nguyên từ 1 đến \( n \) là:

\[
\text{Tổng} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\]

Áp dụng công thức này với \( n = 10 \):

\[
\text{Tổng} = \frac{10(10 + 1)(2 \times 10 + 1)}{6} = \frac{10 \times 11 \times 21}{6}
\]

Bây giờ tính từng phần:

\[
10 \times 11 = 110
\]
\[
110 \times 21 = 2310
\]
\[
\frac{2310}{6} = 385
\]

Vậy \( 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 10^2 = 385 \).

Thay vào phương trình ban đầu ta có:

\[
x \cdot 385 = 385
\]

Để tìm \( x \), ta chia hai vế cho 385:

\[
x = \frac{385}{385} = 1
\]

Vậy nghiệm của phương trình là:

\[
\boxed{1}
\]