Cho hai đường tròn \((O)\) và \((O')\) giao nhau tại \(M\) và \(N\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(OO'\). Đường thẳng kẻ qua \(M\) vuông góc cắt đường tròn \((O)\) và \((O')\) lần lượt ở \(A\) và \(B\). Hai đường thẳng vuông góc với \(AB\) tại \(A\) và \(B\) cắt đường tròn \((O)\) ở \(P\), \((O')\) ở \(Q\)

Để giải bài toán, ta sẽ tiến hành chứng minh các yêu cầu:

### a) Chứng minh rằng \( M \) là trung điểm của \( AB \)

1. **Gọi các định nghĩa và ký hiệu:**
- Gọi \( I \) là trung điểm của đoạn \( OO' \).
- \( M \) là giao điểm của hai đường tròn \( (O) \) và \( (O') \).
- Đoạn thẳng \( MI \) vuông góc với \( AB \).

2. **Cách chứng minh:**
- Ta có hai đường tròn \( (O) \) và \( (O') \) cắt nhau tại \( M \) và \( N \).
- Đoạn thẳng \( MI \) vuông góc với \( AB \), và \( A \) và \( B \) là các điểm trên đường tròn \( (O) \) và \( (O') \).
- Do đó, \( AI \) và \( BI \) là hình chiếu của \( A \) và \( B \) lên \( MI \).
- Vì \( I \) là trung điểm của \( OO' \), ta có rằng đoạn thẳng nối từ \( I \) tới \( A \) và từ \( I \) tới \( B \) đều có chiều dài bằng nhau.

Kết luận: \( M \) là trung điểm của \( AB \).

### b) Chứng minh rằng \( MI \) cắt \( PQ \), chứng minh: \( EP = EQ \)

1. **Xét hình vẽ:**
- Đường thẳng \( MI \) vuông góc với \( AB \) và cắt \( PQ \) tại \( E \).

2. **Chứng minh:**
- Các tam giác \( MEP \) và \( MEQ \) đều có \( ME \) chung.
- Các cạnh tương ứng \( MP \) và \( MQ \) đều bằng nhau (vì chúng là bán kính từ tâm đến giao điểm).
- Do đó, ta có \( EP = EQ \).

### c) Chứng minh rằng \( IH = IK \)

1. **Gọi \( H \) là điểm giao giữa \( PQ \) và đường tròn \( (O) \), \( K \) là điểm giao giữa \( PQ \) và đường tròn \( (O') \).**

2. **Chứng minh:**
- Từ sự đồng đều của các tam giác được chỉ ra ở phần b), ta có rằng \( IH \) là bán kính của đường tròn \( (O) \) tại điểm \( H \) và \( IK \) là bán kính của đường tròn \( (O') \) tại điểm \( K \).
- Bởi vì \( H \) và \( K \) đều nằm trên đường thẳng vuông góc với \( AB \) và từ cùng một điểm \( I \), nên \( IH = IK \) do tính đồng dạng và tính chất của bán kính.

Kết luận: Điều này chứng minh rằng \( IH = IK \).

Với cách chứng minh trên, ba yêu cầu của bài toán đều đã được chứng minh, và ta có thể khẳng định kết quả.