Cho tam giác đều \( ABC \) có cạnh dài \( a \). Ta đặt các điểm \( M, N, P \) trên các cạnh \( BC, CA, AB \) như sau:

- Với \( BM = 2MC \), ta có \( BM \) là 2 phần và \( MC \) là 1 phần, vậy \( BC \) được chia thành 3 phần. Do đó, ta có:
\[
BM = \frac{2}{3}a, \quad MC = \frac{1}{3}a.
\]
Do đó, tọa độ của \( M \) là \( M = \left( \frac{2a}{3}, 0 \right) \) nếu chúng ta làm việc trong hệ tọa độ với \( B = (0, 0) \) và \( C = (a, 0) \).

- Với \( AC = 3AN \), từ đó ta có:
\[
AN = \frac{1}{4}a, \quad NC = \frac{3}{4}a.
\]
Tọa độ của điểm \( N \) sẽ là \( N = \left( \frac{3a}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}a \right) \), vì \( A \) có tọa độ \( A = \left( \frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}a \right) \).

- Về điểm \( P \) trên cạnh \( AB \), với \( AP = x \) và \( BP = AB - AP = a - x \), ta cần xác định tọa độ của \( P \). Nếu ta chọn tọa độ \( P \) trên \( AB \) thì tọa độ của điểm \( P \) được xác định là:
\[
P = \left( \frac{(a - x) \cdot 0 + x \cdot \frac{a}{2}}{a}, \frac{(a - x) \cdot 0 + x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} a}{a} \right) = \left( \frac{x}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} x \right).
\]

Bây giờ, để tìm \( x \) sao cho \( AM \) vuông góc với \( NP \), ta cần phải tính vector \( \overrightarrow{AM} \) và vector \( \overrightarrow{NP} \):

1. **Tính vector \( \overrightarrow{AM} \):**
\[
\overrightarrow{AM} = M - A = \left( \frac{2a}{3} - \frac{a}{2}, 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}a \right) = \left( \frac{4a}{6} - \frac{3a}{6}, -\frac{\sqrt{3}}{2} a \right) = \left( \frac{a}{6}, -\frac{\sqrt{3}}{2} a \right).
\]

2. **Tính vector \( \overrightarrow{NP} \):**
\[
\overrightarrow{NP} = P - N = \left( \frac{x}{2} - \frac{3a}{4}, \frac{\sqrt{3}}{2} x - \frac{\sqrt{3}}{4} a \right) = \left( \frac{2x - 3a}{4}, \frac{\sqrt{3} (2x - a)}{4} \right).
\]

3. **Điều kiện vuông góc:**
Hai vector vuông góc nếu tích vô hướng của chúng bằng \( 0 \):
\[
\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{NP} = 0.
\]
Cụ thể:
\[
\frac{a}{6} \cdot \frac{2x - 3a}{4} + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2} a\right) \cdot \frac{\sqrt{3} (2x - a)}{4} = 0.
\]
Tính toán:
\[
\frac{a(2x - 3a)}{24} - \frac{3a(2x - a)}{8} = 0.
\]
Quy đồng biến:
\[
\frac{a(2x - 3a)}{24} - \frac{9a(2x - a)}{24} = 0 \Rightarrow a \left( (2x - 3a) - 9(2x - a) \right) = 0.
\]
Giả sử \( a \neq 0 \):
\[
2x - 3a - 18x + 9a = 0 \Rightarrow -16x + 6a = 0.
\]
Giải phương trình:
\[
16x = 6a \Rightarrow x = \frac{3a}{8}.
\]

Vậy giá trị \( x \) sao cho \( AM \) vuông góc với \( NP \) là:
\[
\boxed{\frac{3a}{8}}.
\]