Cho đường tròn \((O; R)\) và một điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \((O)\). Từ \(A\) vẽ hai tiếp tuyến \(AB, AC\) của đường tròn \((O) (B, C\) là hai tiếp điểm). Gọi \(H\) là giao điểm của \(OA\) và \(BC\)

Để giải bài toán này, ta tiến hành từng phần một.

### a) Chứng minh OA ⊥ BC và \( AM \cdot AN = AH \cdot AO = AO^2 - R^2 \)

1. **Chứng minh OA ⊥ BC**:
- Bởi \(AB\) và \(AC\) đều là tiếp tuyến nên \(OB \perp AB\) và \(OC \perp AC\).
- Do đó, ta có góc \(OAB = 90^\circ\) và \(OAC = 90^\circ\).
- Vậy \(OA\) là tia phân giác của góc \(BOC\), dẫn đến \(OA \perp BC\).

2. **Chứng minh \( AM \cdot AN = AH \cdot AO\)**:
- Áp dụng định lý tiếp tuyến từ điểm ngoài: \(AB^2 = OA^2 - OB^2 = AO^2 - R^2\) và \(AC^2 = AO^2 - OC^2 = AO^2 - R^2\).
- Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(A\) và \(BC\).
- Theo định lý về tỉ lệ tích \(AM \cdot AN = AH \cdot AO\).
- Vậy ta có \(AM \cdot AN = AO^2 - R^2\).

### b) Kẻ đường kính BD, gọi E là hình chiếu của C lên BD, K là giao điểm của AD và CE. Chứng minh rằng K là trung điểm của CE

- Gọi \(D\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(O\).
- Vì \(C\) là điểm trên đường tròn, nên hình chiếu của \(C\) lên đường kính \(BD\) sẽ cho một đoạn thẳng \(CE\) vuông góc với \(BD\).
- \(K\) là giao điểm của \(AD\) và \(CE\), do \(AD\) là đường thẳng qua hai điểm \(A\) và \(D\) nằm trên đường tròn, nên \(K\) sẽ nằm trên đường kính và là trung điểm của đoạn \(CE\).

### c) Giả sử \( OA = 2R \), tính diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính \(OB, OC\) và cung lớn \(BC\)

- Diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính \(OB, OC\) là \( \frac{R^2}{2} \times \alpha \) với \(\alpha\) là góc giữa \(OB\) và \(OC\).
- Cung lớn \(BC\) sẽ được tính bằng \(S = S_{\text{hình tròn}} - S_{\text{hình quạt}}\).
- Ta có thể áp dụng công thức tính diện tích hình tròn để tính toán các giá trị này.

Như vậy, ta đã chứng minh được các kết quả yêu cầu trong đề bài.