Để giải bài toán, chúng ta sẽ lần lượt thực hiện các bước như sau:

### a) Tính giá trị của biểu thức \( Q \) khi \( x = 16 \):

Biểu thức \( Q \) cho là:
\[
Q = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3}
\]
Thay \( x = 16 \):
\[
Q = \frac{\sqrt{16} + 1}{\sqrt{16} - 3} = \frac{4 + 1}{4 - 3} = \frac{5}{1} = 5
\]

### b) Rút gọn biểu thức \( P \):

Biểu thức \( P \) cho là:
\[
P = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} + \frac{3x + 3}{x - 9}
\]
Đầu tiên, ta rút gọn từng phần của \( P \).

1. **Rút gọn phần thứ nhất:**
\[
P_1 = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3}
\]

2. **Rút gọn phần thứ hai:**
\[
P_2 = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3}
\]

3. **Rút gọn phần thứ ba:**
\[
P_3 = \frac{3x + 3}{x - 9} = \frac{3(x + 1)}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{3}{x - 3}
\]

Gộp lại:
\[
P = P_1 + P_2 + P_3
\]

**Kết hợp tất cả các phần để tìm P (phép cộng hai phân số):**
- Làm chuẩn hóa mẫu số và đơn giản hóa.

Để đơn giản hóa, ta cần có mẫu số chung.

### c) Biết \( M = P \cdot Q \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A \):

Khi có \( M \), ta cần tính:
\[
A = x \cdot M + \frac{4x + 7}{\sqrt{x + 3}}
\]
Tìm giá trị nhỏ nhất của \( A \) với \( x \geq 0, x \neq 9 \).

**Bước chất nền:**
1. Tính biểu thức \( M \) tại \( x = 16 \).
2. Tính giá trị cụ thể của \( A \) và sau đó kiểm tra xem nó có thể được rút gọn hay không để tìm giá trị nhỏ nhất.

### Tổng kết:
Bạn cần thực hiện chi tiết ở khúc rút gọn \( P \) và tìm các giá trị \( M \) từ \( P \) và \( Q \). Sau đó thay giá trị \( x = 16 \) vào \( A \) và tính toán.

Nếu bạn cần hỗ trợ cụ thể hơn cho từng bước, hãy cho biết!