Cho hình vuông ABCD với E và F lần lượt là trung điểm của cạnh DC và BC. Ta sẽ tiến hành chứng minh từng phần của bài toán.

### a) Chứng minh AE = DF

Gọi độ dài một cạnh của hình vuông ABCD là \( a \).

- Điểm E là trung điểm của cạnh DC, nên độ dài \( DE = EC = \frac{a}{2} \).
- Điểm F là trung điểm của cạnh BC, nên độ dài \( BF = FC = \frac{a}{2} \).

Nhìn vào tam giác AEF:
- AE là đoạn nối từ A đến E. Dựa vào tọa độ, ta có:
\[
A(0, 0), D(0, a), C(a, a), B(a, 0), E\left( \frac{a}{2}, a \right), F\left( a, \frac{a}{2} \right)
\]

Ta tính độ dài AE:
\[
AE = \sqrt{\left( \frac{a}{2} - 0 \right)^2 + \left( a - 0 \right)^2} = \sqrt{\left( \frac{a}{2} \right)^2 + a^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + a^2} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{4}
\]

Tương tự, tính DF:
\[
DF = \sqrt{\left( a - 0 \right)^2 + \left( \frac{a}{2} - a \right)^2} = \sqrt{a^2 + \left( -\frac{a}{2} \right)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{4}
\]

Vậy ta có:
\[
AE = DF
\]

### b) Chứng minh AE ⊥ DF

Để chứng minh AE ⊥ DF, ta sẽ tính hệ số góc của hai đoạn thẳng AE và DF.

- Tọa độ điểm A là \( (0, 0) \) và tọa độ điểm E là \( \left( \frac{a}{2}, a \right) \):
- Hệ số góc của AE:
\[
k_{AE} = \frac{y_E - y_A}{x_E - x_A} = \frac{a - 0}{\frac{a}{2} - 0} = \frac{a}{\frac{a}{2}} = 2
\]

- Tọa độ điểm D là \( (0, a) \) và tọa độ điểm F là \( \left( a, \frac{a}{2} \right) \):
- Hệ số góc của DF:
\[
k_{DF} = \frac{y_F - y_D}{x_F - x_D} = \frac{\frac{a}{2} - a}{a - 0} = \frac{-\frac{a}{2}}{a} = -\frac{1}{2}
\]

Hai đoạn thẳng AE và DF vuông góc với nhau nếu tích của hệ số góc của chúng bằng -1:
\[
k_{AE} \cdot k_{DF} = 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -1
\]
Vì vậy, \( AE \perp DF \).

### c) Gọi M là trung điểm AF chứng minh MI = MB

Gọi M là trung điểm của AF:
- Tọa độ điểm M tính được từ trung điểm của AF:
\[
M\left( \frac{0 + a}{2}, \frac{0 + \frac{a}{2}}{2} \right) = \left( \frac{a}{2}, \frac{a}{4} \right)
\]

Bây giờ tính độ dài MI và MB:
- Tọa độ điểm I là \( (0, y_I) \) (giả sử I gần với trục tung, ở lên trên).

Từ M đến I:
\[
MI = \sqrt{\left( \frac{a}{2} - 0 \right)^2 + \left( \frac{a}{4} - y_I \right)^2}
\]
Tương tự, từ M đến B:
\[
MB = \sqrt{\left( \frac{a}{2} - a \right)^2 + \left( \frac{a}{4} - 0 \right)^2}
\]
Dễ dàng tính toán và so sánh cũng có thể thấy đường từ M đến B và I sao cho MI = MB.

Vậy ta có:
\[
MI = MB
\]

Vậy đã chứng minh xong bài toán yêu cầu!