Cho đoạn thẳng AB có M là trung điểm. Qua điểm M kẻ đường thẳng d vuông góc với AB. Trên d lấy các điểm C và D. Chứng minh rằng

Để chứng minh các yêu cầu đã cho, ta sẽ sử dụng hình học phẳng và một số tính chất cơ bản của tam giác.

### a) Chứng minh rằng \( AC = BC \)

1. **Gọi điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB**:
- Có nghĩa là \( AM = MB \).

2. **Vẽ đường thẳng d vuông góc với đoạn thẳng AB tại M**:
- Điều này có nghĩa là góc \( AMB = 90^\circ \).

3. **Chọn điểm C và điểm D trên đường thẳng d**:
- Ta không cần biết vị trí cụ thể của C và D, chỉ cần biết chúng nằm trên cùng một đường thẳng d.

4. **Xét tam giác AMC và BMC**:
- Do \( AM = MB \) và \( CM \) là chung, nên trong hai tam giác AMC và BMC có:
- \( AM = MB \)
- \( CM = CM \) (cạnh chung)
- \( \angle AMC = \angle BMC = 90^\circ \)
- Theo định lý bên (cạnh huyền) của tam giác vuông, có thể suy ra rằng:
\[ AC = BC \]

### b) Chứng minh rằng \( \angle ACD = \angle BCD \)

1. **Xét hai tam giác ACD và BCD**:
- Ta có \( AC = BC \) như đã chứng minh ở phần a.
- Cả hai tam giác này đều có cạnh chung là CD.
- Do đó, ta có:
- \( AC = BC \)
- \( CD = CD \) (cạnh chung)

2. **Áp dụng định lý về các tam giác đồng dạng**:
- Trong hai tam giác ACD và BCD, nếu \( AC = BC \) và cạnh chung CD, cùng với việc ứng với các cạnh đều đối diện các góc, ta có thể áp dụng quy tắc (cạnh - góc - cạnh) để kết luận:
\[
\angle ACD = \angle BCD
\]

### Kết luận:
Như vậy, ta đã chứng minh rằng:
- \( AC = BC \)
- \( \angle ACD = \angle BCD \)

Điều này hoàn thành bài toán và khẳng định tính chất cần chứng minh.