Để chứng minh rằng bốn điểm \( A, B, C, D \) cùng thuộc một đường tròn, chúng ta cần chứng minh rằng các điểm này nằm trên cùng một đường tròn nếu như chúng có cùng một tính chất nào đó.

### a) Chứng minh rằng bốn điểm \( A, B, C, D \) cùng thuộc một đường tròn

1. **Xác định tọa độ của các điểm:**
- Giả sử \( A(0, 0) \)
- \( B(a, 0) \)
- \( C(a, 2a) \)
- \( D(0, 2a) \)

2. **Tính độ dài các cạnh:**
- \( AB = a \)
- \( BC = 2a \)
- \( CD = a \)
- \( DA = 2a \)

3. **Xét tứ giác \( ABCD \):**
- Vì \( AB \) và \( CD \) đều song song và bằng nhau (cùng bằng \( a \)),
- \( BC \) và \( DA \) cũng song song và bằng nhau (cùng bằng \( 2a \)),
- Tứ giác \( ABCD \) là hình chữ nhật nên các góc của nó bằng \( 90^\circ \).

4. **Tính chất của hình chữ nhật:**
- Một tứ giác sẽ thuộc một đường tròn nếu nó là tứ giác nội tiếp. Khi đó, tổng các góc đối diện phải bằng \( 180^\circ \).
- Trong trường hợp này, vì \( ABCD \) là hình chữ nhật, ta có:
\[
\angle A + \angle C = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ
\]
\[
\angle B + \angle D = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ
\]
- Như vậy, điều kiện để \( ABCD \) nằm trên cùng một đường tròn là thỏa mãn, tức là \( A, B, C, D \) cùng thuộc một đường tròn.

### b) Tính bán kính đường tròn

1. **Tính bán kính đường tròn:**
- Từ hình chữ nhật \( ABCD \), đường chéo \( AC \) sẽ là đường kính của đường tròn. Cần tính độ dài đường chéo \( AC \):
\[
AC = \sqrt{(a-0)^2 + (2a-0)^2} = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}
\]

2. **Bán kính \( R \) của đường tròn:**
- Bán kính sẽ là một nửa độ dài đường chéo:
\[
R = \frac{AC}{2} = \frac{a\sqrt{5}}{2}
\]

### Kết luận
- Bốn điểm \( A, B, C, D \) cùng thuộc một đường tròn và bán kính của đường tròn đó là \( \frac{a\sqrt{5}}{2} \).