Để chứng minh tứ giác \(ABCK\) là hình bình hành, chúng ta có thể sử dụng định nghĩa và tính chất của hình bình hành.

### Chứng minh a) Tứ giác \(ABCK\) là hình bình hành:

1. **Xác định các điểm**:
- \(M\) là trung điểm của \(AB\).
- \(N\) là trung điểm của \(AC\).
- \(P\) là trung điểm của \(BC\).
- \(K\) là điểm trên tia \(BN\) sao cho \(N\) là trung điểm của \(BK\).

2. **Tính chất trung điểm**:
- Vì \(M\) và \(N\) là trung điểm của \(AB\) và \(AC\), nên:
\[
AM = MB \quad \text{và} \quad AN = NC
\]
- Bằng cách xây dựng điểm \(K\) sao cho \(N\) là trung điểm của \(BK\), ta có:
\[
BN = NK
\]

3. **Sử dụng tính chất hình bình hành**:
- Để chứng minh \(ABCK\) là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng \(AC = BK\) và \(AB = CK\).
- Từ các tính chất đã nêu, do \(N\) nằm giữa \(B\) và \(K\), ta có:
\[
BN + NK = BK \quad \implies \quad BK = 2BN
\]
- Khi \(A\) là đỉnh của tam giác cân, hai đường chéo \(AC\) và \(BK\) cắt nhau tại trung điểm \(N\), chứng tỏ:
\[
AC = BK
\]

4. **Kết luận**:
- Từ \(AB = CK\) (vì \(M\) là trung điểm) và \(AC = BK\), ta có:
\[
AB = CK \quad \text{và} \quad AC = BK \implies ABCK \text{ là hình bình hành.}
\]

### Các phần còn lại:

b) Để chứng minh \(AP\) vuông góc với \(BC\) và tứ giác \(AMPN\) là hình thoi, bạn cần áp dụng tính chất của các đường chéo và độ dài cạnh.

c) Gọi \(H\) là giao điểm của hai đường thẳng \(PM\) và \(AK\). Chứng minh \(BH\) vuông góc với \(AK\) có thể được thực hiện bằng cách sử dụng tính chất vuông góc trong tam giác hoặc các chiều dài.

Nếu bạn cần giúp đỡ thêm về các bước cụ thể cho hai phần còn lại, hãy cho tôi biết!