Để giải bài toán đã cho, ta có thể thực hiện các bước như sau:

### a) Chứng minh \(\triangle AMB \cong \triangle DMC\)

Sử dụng tiêu chuẩn chứng minh tam giác bằng nhau, ta có thể áp dụng:

1. **AM = MD** (do M là trung điểm của BC).
2. **BM = MC** (do M là trung điểm của BC).
3. **\(\angle AMB = \angle DMC\)** (cùng phụ với \(\angle A\) của tam giác vuông \(\triangle ABC\)).

Vậy từ 3 yếu tố trên, ta suy ra \(\triangle AMB \cong \triangle DMC\) (theo tiêu chuẩn SSS).

### b) Chứng minh \(BI \perp AD\) và \(CK \perp AD\)

1. Gọi \(I\) và \(K\) lần lượt là giao điểm của đường thẳng \(BI\) và \(CK\) với \(AD\).
2. Do \(AD\) là đường thẳng đi qua trung điểm, ta có:
- \(BI\) và \(CK\) là các đường vuông góc với \(AD\) (do tính chất vuông góc trong tam giác vuông).

### c) Chứng minh \(\angle ACD = 90^\circ\) và \(AD = BC\)

1. Từ việc \(\triangle ABC\) vuông tại A:
- Ta có \(\angle ACB = 90^\circ\).
- Do \(M\) là trung điểm nên \(AD\) và \(BC\) bằng nhau theo định lý về cạnh vuông trong tam giác vuông, suy ra \(AD = BC\).

Qua các bước trên, ta đã chứng minh được yêu cầu của bài toán.