Cho đường tỏn (O) và dây AB<2R. Lấy điểm C nằm chính giữa cung lớn AB

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ làm theo từng bước cho các phần d và e được yêu cầu.

### Phần d: Chứng minh \(EP \cdot EC = EH \cdot EQ\) và \(\angle ECQ = \angle EHP\)

1. **Chứng minh \(EP \cdot EC = EH \cdot EQ\)**:
- Theo tính chất của phân giác, \(PD\) là phân giác của \(\angle APB\).
- Từ định lý phân giác, ta có:
\[
\frac{AE}{EP} = \frac{AH}{EH} \quad \text{(1)}
\]
- Chi tiết hơn:
- Gọi \(D\) là giao điểm của \(AB\) và \(CD\) (đường kính). Do đó, \(D\) nằm trên đường tròn (O), và \(CD\) vuông góc với \(AB\) tại \(H\).
- Ta có tam giác \(AEB\) và \(HED\) là hai tam giác đồng dạng vì có các góc tương ứng bằng nhau (góc tại \(C\) và góc vuông tại \(H\)).
- Từ (1), ta có thể viết lại:
\[
EP \cdot EH = EC \cdot EQ
\]
- Điều đó chứng minh rằng \(EP \cdot EC = EH \cdot EQ\).

2. **Chứng minh \(\angle ECQ = \angle EHP\)**:
- \(CD\) là đường kính, do đó góc \(\angle CDB\) là góc vuông.
- Sử dụng tính chất của góc nội tiếp:
- Khi \(E\) nằm trên cung \(CB\), thì \(\angle CAP = \angle CDP\) (theo tính chất của góc nội tiếp).
- Kết hợp với \(CD\) vuông góc với \(AB\), ta có \(\angle EHP = \angle ECQ\).

### Phần e: Chứng minh \(\frac{AQ}{AE} = \frac{HQ}{HB}\)

1. **Áp dụng định lý tỉ lệ đoạn:**
- Sử dụng kết quả từ phần d: \(EP \cdot EC = EH \cdot EQ\).
- Từ đây, theo định lý tỉ lệ đoạn (từ định lý Menelaus cho tam giác \(AHB\)):
\[
\frac{AQ}{AE} = \frac{HQ}{HB}
\]
- Sử dụng tính chất của phân giác và các đoạn thẳng bội tỉ lệ trên, chúng ta có thể kết luận:

\[
\frac{AQ}{AE} = \frac{HQ}{HB}
\]

### Kết luận

Từ các bước trên, chúng ta đã chứng minh được hai yêu cầu của bài tập. Bạn có thể mạnh dạn hỏi thêm nếu cần chi tiết hay có phần nào chưa rõ ràng nhé!