Để tính giá trị của các biểu thức đã cho, ta sẽ thực hiện việc đơn giản hóa từng biểu thức một. Dưới đây là các bước cụ thể:

### Biểu thức 1:
\[
\sqrt{\frac{2a}{3}} \cdot \sqrt{\frac{3a}{8}} \quad \text{với} \quad a \geq 0
\]
- Kết hợp hai căn:
\[
\sqrt{\frac{2a \cdot 3a}{3 \cdot 8}} = \sqrt{\frac{6a^2}{24}} = \sqrt{\frac{a^2}{4}} = \frac{a}{2}
\]

### Biểu thức 2:
\[
\sqrt{\frac{13a}{\frac{52}{a}}} \quad \text{với} \quad a > 0
\]
- Đảo ngược căn:
\[
\sqrt{\frac{13a^2}{52}} = \sqrt{\frac{13a^2}{4 \cdot 13}} = \sqrt{\frac{a^2}{4}} = \frac{a}{2}
\]

### Biểu thức 3:
\[
\frac{2y^2 \sqrt{x^4}}{4y^2} \quad \text{với} \quad y < 0
\]
- Đơn giản hóa:
\[
\frac{2y^2 \cdot 2x^2}{4y^2} = \frac{2x^2}{2} = x^2
\]

### Biểu thức 4:
\[
\frac{y}{x} \sqrt{\frac{x^2}{y^4}} \quad \text{với} \quad x > 0, y \neq 0
\]
- Đơn giản hóa:
\[
\frac{y}{x} \cdot \frac{x}{y^2} = \frac{1}{y}
\]

### Biểu thức 5:
\[
\frac{5}{2} x^3 y^3 \sqrt{\frac{16}{x^4 y^8}} \quad \text{với} \quad x, y \neq 0
\]
- Tính căn:
\[
\sqrt{\frac{16}{x^4 y^8}} = \frac{4}{x^2 y^4}
\]
- Đơn giản hóa:
\[
\frac{5}{2} x^3 y^3 \cdot \frac{4}{x^2 y^4} = \frac{20x^{3-2} y^{3-4}}{2} = 10 \cdot \frac{x^1}{y} = \frac{10x}{y}
\]

### Kết quả cuối cùng:
1. **Biểu thức 1:** \(\frac{a}{2}\)
2. **Biểu thức 2:** \(\frac{a}{2}\)
3. **Biểu thức 3:** \(x^2\)
4. **Biểu thức 4:** \(\frac{1}{y}\)
5. **Biểu thức 5:** \(\frac{10x}{y}\)