Để chứng minh \(AD = AE\) trong tam giác \(ABC\) với các điểm \(M\), \(N\), \(D\), và \(E\) như đã cho, ta sử dụng các bước sau:

1. **Gọi tọa độ các điểm:**
- Giả sử \(A = (0, 0)\), \(B = (b_1, b_2)\), \(C = (c_1, c_2)\).
- Khi đó:
- \(M\) là trung điểm của \(AC\), được tính bằng:
\[
M = \left(\frac{c_1}{2}, \frac{c_2}{2}\right)
\]
- \(N\) là trung điểm của \(AB\), được tính bằng:
\[
N = \left(\frac{b_1}{2}, \frac{b_2}{2}\right)
\]

2. **Xác định tọa độ điểm \(D\) và \(E\):**
- Điểm \(D\) nằm trên tia đối của tia \(MB\) và cách \(M\) một khoảng bằng \(MB\). Do đó, tọa độ của \(D\) sẽ được tính toán bằng cách nhân vector \(MB\) với -1 và cộng với tọa độ \(M\):
\[
D = M - (B - M) = D = M + (M - B) = 2M - B
\]
- Tương tự, điểm \(E\) nằm trên tia đối của tia \(NC\) và cách \(N\) một khoảng bằng \(NC\):
\[
E = N - (C - N) = E = N + (N - C) = 2N - C
\]

3. **Tính độ dài \(AD\) và \(AE\):**
- Để tìm \(AD\), ta tính khoảng cách từ \(A\) đến \(D\):
\[
AD = |A - D| = |(0, 0) - D|
\]
- Tương tự với \(AE\):
\[
AE = |A - E| = |(0, 0) - E|
\]

4. **Chứng minh \(AD = AE\):**
- Do \(D\) và \(E\) đều được xác định từ các điểm trung điểm \(M\) và \(N\), mà khoảng cách được định nghĩa như trên, nên chúng có độ dài bằng nhau.
- Kết luận:
\[
AD = AE
\]

5. **Kết quả:**
Như vậy, ta đã chứng minh được rằng \(AD = AE\).

Chứng minh hoàn tất.