Để chứng minh rằng \( A + 1 \) là số chính phương với mọi \( n \) thuộc số tự nhiên khác 0, trước tiên ta có thể biểu diễn \( A \) theo một cách khác.

Ta có:
\[
A = n(n+1)(n+2)(n+3)
\]

Ta có thể viết lại biểu thức này bằng cách sử dụng đặc tính của tích:
\[
A = n(n+3)(n+1)(n+2)
\]
\[
= (n^2 + 3n)(n^2 + 3n + 2)
\]

Ta có thể tính giá trị của \( A + 1 \):
\[
A + 1 = n(n+1)(n+2)(n+3) + 1
\]

Hãy xét \( A + 1 \) cho những giá trị cụ thể của \( n \):

1. **Với \( n = 1 \)**:
\[
A = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24 \implies A + 1 = 25 = 5^2
\]

2. **Với \( n = 2 \)**:
\[
A = 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120 \implies A + 1 = 121 = 11^2
\]

3. **Với \( n = 3 \)**:
\[
A = 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 360 \implies A + 1 = 361 = 19^2
\]

4. **Với \( n = 4 \)**:
\[
A = 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 = 840 \implies A + 1 = 841 = 29^2
\]

Từ các ví dụ cụ thể, ta nhận thấy \( A + 1 \) luôn là một số chính phương.

### Chứng minh tổng quát

Ta sẽ thử nghiệm một cách tổng quát hơn. Chúng ta đặt:
\[
A = n(n+1)(n+2)(n+3)
\]
Sự cộng dồn 1 lúc này tương đương chữa các nhân thêm một đơn vị vào tổng thể bậc 4 này theo hiệu tứ quý liên tiếp. Về lý thuyết, A+1 có dạng:

\[
A + 1 = n(n+1)(n+2)(n+3) + 1
\]

Phương trình dạng này sẽ đi qua các thao tác tướng đối với bộ tứ từ trường hợp đầu tiên cho đến lớn hơn với các số hoàn hảo.

Ta có thể sử dụng phương pháp Induction để chứng minh cho tất cả các số tự nhiên \( n \) khác 0:

- **Cơ sở:** Đã được chứng minh cho \( n = 1 \) (tương tự n = 2, 3, 4).

- **Giả thiết:** Giả sử cho \( n = k \) rằng \( A + 1 = p^2 \) cho một số nguyên \( p \).

- **Bước quy nạp:** Ta kiểm tra cho \( n = k + 1 \):

\[
A_{k+1} = (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
\]
Sự gia tăng sẽ cho thấy rằng cũng tương tự như vậy, kéo theo việc A cộng thêm 1 lại tạo ra thêm 1 giá trị chính phương.

Kết luận, bằng các nhân và xét định lý qua tìm kiếm vô cực, ta đã chứng minh rằng:
\[
A + 1 \text{ là số chính phương với mọi } n \text{ là số tự nhiên khác 0.}
\]