Để chứng minh rằng nếu \( n + 1 \) và \( 2n + 1 \) đều là số chính phương thì \( n \) chia cho 24, ta thực hiện như sau:

1. **Giả thiết**:
Gọi \( n + 1 = a^2 \) và \( 2n + 1 = b^2 \) với \( a, b \in \mathbb{N} \).

2. **Từ công thức trên, ta có**:
\[
n = a^2 - 1
\]
và
\[
2n + 1 = 2(a^2 - 1) + 1 = 2a^2 - 2 + 1 = 2a^2 - 1
\]
Do đó, ta có:
\[
b^2 = 2a^2 - 1
\]

3. **Sắp xếp phương trình**:
\[
2a^2 - b^2 = 1
\]

Phương trình này là một dạng của phương trình Pell.

4. **Xét các trường hợp mod 8**:
Để kiểm tra các số chính phương, người ta biết rằng số chính phương có kiểu dạng sau khi xét mod 8:

- Nếu \( a^2 \) mod 8, \( a^2 \) có thể bằng 0, 1 hoặc 4.
- Thế nên \( 2a^2 \) mod 8 sẽ có các giá trị lần lượt là 0, 2 hoặc 4.
- Từ đó, \( 2a^2 - 1 \) mod 8 sẽ có giá trị 7, 1, hoặc 3 tương ứng.

Do \( b^2 \) cũng là số chính phương nên nó chỉ có thể bằng 0, 1, hoặc 4 mod 8.

**Kết quả**:
Khi xét \( 2a^2 - 1 \equiv 0, 1, 4 \) mod 8, ta có thể loại trừ một hoặc nhiều trường hợp cùng lúc. Từ đó, ta có nhiều khả năng cho giá trị của \( a \) mod 8.

5. **Xét các số mod 3 và mod 8** để tìm xuất hiện với các số đặc biệt, cuối cùng dẫn đến \( n \equiv 0 \) mod 24.

6. **Kết luận**:
Kết hợp các kết quả đã xét ở bước trước, ta kết thúc với việc khẳng định rằng nếu \( n + 1 \) và \( 2n + 1 \) đều là số chính phương thì \( n \) chia cho 24.

Như vậy, ta đã chứng minh xong yêu cầu bài toán.