Để giải bài này, chúng ta cần tính diện tích giấy dán mép cho hai loại hộp giấy, sau đó thiết lập bất phương trình từ điều kiện đã cho.

### Hộp giấy loại I:
- Chiều rộng: \( x \) (cm)
- Chiều dài: \( x + 9 \) (cm)
- Chiều cao: \( 18 \) (cm)

**Diện tích xung quanh của một hộp giấy loại I**:
\[
S_1 = 2 \times (x + (x + 9)) \times 18 = 2 \times (2x + 9) \times 18
\]

**Diện tích xung quanh của 25 hộp giấy loại I**:
\[
S_{total1} = 25 \times S_1 = 25 \times 36 \times (2x + 9) = 900 \times (2x + 9)
\]

### Hộp giấy loại II:
- Chiều rộng: \( 10 \) (cm)
- Chiều dài: \( 10 + 5 = 15 \) (cm)
- Chiều cao: \( x + 1 \) (cm)

**Diện tích xung quanh của một hộp giấy loại II**:
\[
S_2 = 2 \times (10 + 15) \times (x + 1) = 2 \times 25 \times (x + 1) = 50(x + 1)
\]

**Diện tích xung quanh của 20 hộp giấy loại II**:
\[
S_{total2} = 20 \times S_2 = 20 \times 50(x + 1) = 1000(x + 1)
\]

### Thiết lập bất phương trình:
Theo đề bài, tổng diện tích xung quanh của 25 hộp giấy loại I không được vượt quá tổng diện tích xung quanh của 20 hộp giấy loại II cộng thêm một số hạn chế:
\[
900(2x + 9) + 1000(x + 1) < 17500
\]

### Giải bất phương trình:
- Bước 1: Giải phương trình
\[
900(2x + 9) + 1000(x + 1) < 17500
\]
\[
1800x + 8100 + 1000x + 1000 < 17500
\]
\[
2800x + 9100 < 17500
\]
\[
2800x < 17500 - 9100
\]
\[
2800x < 8400
\]
\[
x < \frac{8400}{2800} = 3
\]

- Bước 2: Tìm giá trị nhỏ nhất
Do \( x \) phải lớn hơn 0, chúng ta có \( 0 < x < 3 \).

### Kết luận:
Giá trị nhỏ nhất của \( x \) là \( 1 \) (tương ứng với giá trị nguyên nhỏ nhất trong khoảng \( (0, 3) \)).