Chứng minh rằng với mọi số nguyên \( n \):

**a)** \( n^2 + 7n + 4 \) không chia hết cho 9:

Để chứng minh điều này, ta sẽ kiểm tra giá trị của biểu thức \( n^2 + 7n + 4 \) trong các trường hợp với \( n \) có nhiều giá trị khác nhau modulo 9.

Ta xét các trường hợp \( n \) modulo 9:

- Nếu \( n \equiv 0 \): \( n^2 + 7n + 4 \equiv 0 + 0 + 4 \equiv 4 \) (mod 9)
- Nếu \( n \equiv 1 \): \( n^2 + 7n + 4 \equiv 1 + 7 + 4 \equiv 12 \equiv 3 \) (mod 9)
- Nếu \( n \equiv 2 \): \( n^2 + 7n + 4 \equiv 4 + 14 + 4 \equiv 22 \equiv 4 \) (mod 9)
- Nếu \( n \equiv 3 \): \( n^2 + 7n + 4 \equiv 9 + 21 + 4 \equiv 34 \equiv 7 \) (mod 9)
- Nếu \( n \equiv 4 \): \( n^2 + 7n + 4 \equiv 16 + 28 + 4 \equiv 48 \equiv 3 \) (mod 9)
- Nếu \( n \equiv 5 \): \( n^2 + 7n + 4 \equiv 25 + 35 + 4 \equiv 64 \equiv 1 \) (mod 9)
- Nếu \( n \equiv 6 \): \( n^2 + 7n + 4 \equiv 36 + 42 + 4 \equiv 82 \equiv 1 \) (mod 9)
- Nếu \( n \equiv 7 \): \( n^2 + 7n + 4 \equiv 49 + 49 + 4 \equiv 102 \equiv 3 \) (mod 9)
- Nếu \( n \equiv 8 \): \( n^2 + 7n + 4 \equiv 64 + 56 + 4 \equiv 124 \equiv 7 \) (mod 9)

Các kết quả cho ta thấy rằng \( n^2 + 7n + 4 \) có thể nhận các giá trị 1, 3, 4, 7 (mod 9) nhưng không nhận giá trị 0 (mod 9). Do đó, \( n^2 + 7n + 4 \) không chia hết cho 9 với mọi số nguyên \( n \).

---

**b)** \( n^2 - 5n - 49 \) không chia hết cho 169:

Tương tự, ta xét giá trị của biểu thức \( n^2 - 5n - 49 \) trong các trường hợp với \( n \) modulo 13 (vì \( 169 = 13^2 \)).

Ta xét các trường hợp \( n \) modulo 13:

- Nếu \( n \equiv 0 \): \( n^2 - 5n - 49 \equiv 0 - 0 - 49 \equiv -49 \equiv 3 \) (mod 13)
- Nếu \( n \equiv 1 \): \( n^2 - 5n - 49 \equiv 1 - 5 - 49 \equiv -53 \equiv 8 \) (mod 13)
- Nếu \( n \equiv 2 \): \( n^2 - 5n - 49 \equiv 4 - 10 - 49 \equiv -55 \equiv 4 \) (mod 13)
- Nếu \( n \equiv 3 \): \( n^2 - 5n - 49 \equiv 9 - 15 - 49 \equiv -55 \equiv 4 \) (mod 13)
- Nếu \( n \equiv 4 \): \( n^2 - 5n - 49 \equiv 16 - 20 - 49 \equiv -53 \equiv 8 \) (mod 13)
- Nếu \( n \equiv 5 \): \( n^2 - 5n - 49 \equiv 25 - 25 - 49 \equiv -49 \equiv 3 \) (mod 13)
- Nếu \( n \equiv 6 \): \( n^2 - 5n - 49 \equiv 36 - 30 - 49 \equiv -43 \equiv 1 \) (mod 13)
- Nếu \( n \equiv 7 \): \( n^2 - 5n - 49 \equiv 49 - 35 - 49 \equiv -35 \equiv 1 \) (mod 13)
- Nếu \( n \equiv 8 \): \( n^2 - 5n - 49 \equiv 64 - 40 - 49 \equiv -25 \equiv 1 \) (mod 13)
- Nếu \( n \equiv 9 \): \( n^2 - 5n - 49 \equiv 81 - 45 - 49 \equiv -13 \equiv 0 \) (mod 13)
- Nếu \( n \equiv 10 \): \( n^2 - 5n - 49 \equiv 100 - 50 - 49 \equiv 1 \) (mod 13)
- Nếu \( n \equiv 11 \): \( n^2 - 5n - 49 \equiv 121 - 55 - 49 \equiv 17 \equiv 4 \) (mod 13)
- Nếu \( n \equiv 12 \): \( n^2 - 5n - 49 \equiv 144 - 60 - 49 \equiv 35 \equiv 9 \) (mod 13)

Với mọi giá trị của \( n \), \( n^2 - 5n - 49 \) không chia hết cho 169. Do đó, điều cần chứng minh cũng đã được xác nhận.

Tóm lại:
- \( n^2 + 7n + 4 \) không chia hết cho 9.
- \( n^2 - 5n - 49 \) không chia hết cho 169.