Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = AC, có D là trung điểm BC. Trên đoạn BD lấy E (khác B, D), trên tia đối của CB lấy điểm F sao cho BE = CF. Kẻ các đường thẳng vuông góc với BC tại E cắt AB tại G, đường vuông góc với BC tại F cắt AC tại H. Gọi giao điểm của GH với BC là I

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề.

### a) Chứng minh BG = CH, IG = IH

1. **Xác định vị trí các điểm:**
- Tam giác ABC vuông tại A, với \( AB = AC \), tức là tam giác đều.
- D là trung điểm của BC, vậy \( BD = DC \).
- BE = CF và E, F nằm ở các vị trí khác nhau trên BC.

2. **Xét hệ tọa độ:**
- Cho A(0, 0), B(a, 0), C(0, a), D(\(\frac{a}{2}\), \(\frac{a}{2}\)).

3. **Tính hình chiếu:**
- G là hình chiếu của E trên AB và H là hình chiếu của F trên AC.
- Tính các độ dài \( BG \) và \( CH \) cho biết chúng đối xứng qua D.

4. **Chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau:**
- Sử dụng tính chất đối xứng và cách tính khoảng cách trong tam giác vuông để chứng minh \( BG = CH \).
- Về IG và IH, sử dụng định lý Pythagore để chứng minh rằng chúng cũng bằng nhau.

### b) Kẻ đường thẳng vuông góc với CA tại C, cắt AD tại M. Chứng minh MI vuông góc với GH

1. **Kẻ đường thẳng vuông góc:**
- Đường thẳng vuông góc với CA tại C sẽ cắt AD tại một điểm M.

2. **Chứng minh MI vuông góc với GH:**
- Sử dụng tính chất của các đường thẳng vuông góc và cấu trúc của tam giác.

### c) Đường thẳng vuông góc với DG tại D cắt AC tại K, chứng minh rằng:
\[ AK + AG \leq DG + DK \]

1. **Xác định các đoạn thẳng:**
- K là giao điểm của đường thẳng vuông góc với DG tại D với AC.

2. **Chứng minh bất đẳng thức:**
- Sử dụng bất đẳng thức triangle và các đoạn thẳng trong tam giác để chứng minh.

Đưa ra các bước rõ ràng sẽ giúp bạn chứng minh từng yêu cầu trong bài toán. Nếu cần thêm chi tiết cụ thể về từng bước chứng minh, hãy cho tôi biết!