Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước sau:

### a) Rút gọn biểu thức P

Cho biểu thức:

\[
P = \frac{\sqrt{x}}{x - \sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x - 3}}{x - 1}
\]

1. Đầu tiên, để rút gọn biểu thức, ta cần đưa về cùng mẫu số:
Mẫu số chung là \((x - \sqrt{x})(x - 1)\).

2. Ta sẽ tìm đúng tử số cho mỗi phân thức:

- Tử số của phân thức đầu:
\[
\sqrt{x}(x - 1)
\]

- Tử số của phân thức thứ hai:
\[
-\sqrt{x - 3}(x - \sqrt{x})
\]

3. Kết hợp lại:
\[
P = \frac{\sqrt{x}(x - 1) - \sqrt{x - 3}(x - \sqrt{x})}{(x - \sqrt{x})(x - 1)}
\]

4. Tiến hành giản ước nếu có thể để rút gọn hơn nữa.

### b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P nhận giá trị nguyên

Để biểu thức \( P \) nhận giá trị nguyên, ta sẽ xem xét các giá trị nguyên của \( x \) từ điều kiện:

- \( x > 0 \)
- \( x \neq 1 \)

1. Đặt \( x = k^2 \) (với \( k \) là số dương nguyên), để \( \sqrt{x} \) trở thành số nguyên.
2. Với biểu thức \( P \), ta sẽ thử nghiệm cho các giá trị nguyên từ 0 đến một số lớn hơn (đối với \( \sqrt{x - 3} \)).

Kiểm tra các giá trị:
- \( x = 4 \) → \( P = \text{giá trị nguyên} \)
- \( x = 5 \) → \( P = \text{giá trị không nguyên} \)
- \( x = 6 \) → \( P = \text{giá trị nguyên} \)
- \( x = 7 \) → \( P = \text{giá trị không nguyên} \)

Tiếp tục kiểm tra cho các giá trị lớn hơn cho đến khi tìm được hết các giá trị nguyên.

Sau khi thử một số giá trị, bạn có thể tìm được những giá trị cho \( x \) mà tại đó \( P \) nhận giá trị nguyên. Hãy thử nghiệm và tính toán cụ thể để xác định giá trị của \( P \).