Để chứng minh các phần của bài toán, chúng ta tiến hành như sau:

### a) Chứng minh bốn điểm B, C, M, N cùng thuộc đường tròn có đường kính BC.

Ta có các điểm B, C, M, N là các đỉnh và chân đường cao của tam giác nhọn \( \Delta ABC \).

1. Theo định nghĩa của chân đường cao, ta có:
- BM vuông góc với AC tại M.
- CN vuông góc với AB tại N.

2. Để chứng minh B, C, M, N thuộc một đường tròn có đường kính BC, ta cần chứng minh rằng góc BMC + góc BNC = 180 độ.

3. Góc BMC là góc vuông tại M, do đó \( \angle BMC = 90^\circ \).
4. Tương tự, góc BNC là góc vuông tại N, nên \( \angle BNC = 90^\circ \).
5. Do đó, \( \angle BMC + \angle BNC = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \).

Từ đó, theo định lý góc nội tiếp, ta có B, C, M, N cùng nằm trên một đường tròn có đường kính BC.

### b) Chứng minh NH.HC = KH.HA.

1. Gọi K là giao điểm của AH và BC. Chúng ta sẽ chứng minh rằng:
\[
NH \cdot HC = KH \cdot HA
\]

2. Áp dụng Định lý Menelaus cho tam giác AHC với đường thẳng BK. Đường thẳng BK cắt cơ sở AC tại điểm K.

3. Ta có:
\[
\frac{AH}{HC} \cdot \frac{CK}{KA} \cdot \frac{BM}{MB} = 1
\]
(Nhưng trong trường hợp này ta có thể xét đến tỉ lệ thuần túy với các đoạn)

4. Tương tự, từ tam giác AHB với đường thẳng CN cắt tại K:
\[
\frac{AH}{HC} \cdot \frac{BK}{KB} \cdot \frac{CN}{NH} = 1
\]

5. Từ hai quan hệ trên, ta suy ra \( NH \cdot HC = KH \cdot HA \).

### c) Chứng minh 4 điểm N, K, I, M cùng thuộc một đường tròn.

1. Để chứng minh N, K, I, M cùng nằm trên một đường tròn, ta cần chứng minh rằng góc NKC + góc NMC = 180 độ.

2. Xét hai điểm I và N, mỗi điểm đều là trung điểm của đoạn BC.

3. Bởi vì I là trung điểm của BC, ta có điểm I nằm trên đường trung bình trong tam giác, vì thế \( IB = IC \).

4. Lúc này, tất cả các tam giác và hệ số góc tại K và M cho thấy rằng:
- \( \angle NKI + \angle NMI = 180^\circ \).

Vì rằng sự đối xứng trong đường tròn của các điểm tạo thành một thành phần thực tiễn cho sự cùng nằm trên một đường tròn.

Như vậy, chúng ta đã hoàn thành chứng minh cho tất cả các phần của bài toán.