Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BD, CE. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm BE và CD. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN và BD và CE. Chứng minh MI = IK = KN 

Để chứng minh rằng \( MI = IK = KN \), ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác và trung tuyến.

1. **Hệ tọa độ:**
Đặt các điểm của tam giác như sau:
- Gọi \( A(0, 0) \)
- Gọi \( B(b, 0) \)
- Gọi \( C(c_x, c_y) \)

2. **Tìm tọa độ các điểm:**
- Trung điểm \( D \) của \( AC \) được tính là:
\[
D\left(\frac{c_x}{2}, \frac{c_y}{2}\right)
\]
- Trung điểm \( E \) của \( AB \) được tính là:
\[
E\left(\frac{b}{2}, 0\right)
\]
- Tìm tọa độ các điểm trung điểm \( M \) và \( N \):
- \( M \) là trung điểm của \( BE \):
\[
M\left(\frac{b + \frac{b}{2}}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = M\left(\frac{3b}{4}, 0\right)
\]
- \( N \) là trung điểm của \( CD \):
\[
N\left(\frac{c_x + \frac{c_x}{2}}{2}, \frac{c_y + \frac{c_y}{2}}{2}\right) = N\left(\frac{3c_x}{4}, \frac{c_y}{4}\right)
\]

3. **Tìm phương trình của các đường trung tuyến:**
- Đường trung tuyến \( BD \) (nối \( B \) và \( D \)):
- Tìm hệ số góc của đường thẳng \( BD \):
\[
\text{slope} = \frac{\frac{c_y}{2}}{(\frac{c_x}{2} - b)} = \frac{c_y}{c_x - 2b}
\]
- Phương trình đường thẳng: \( y - 0 = \frac{c_y}{c_x - 2b}(x - b) \)

- Đường trung tuyến \( CE \):
- Tìm hệ số góc của đường thẳng \( CE \):
\[
\text{slope} = \frac{0 - c_y}{\frac{b}{2} - c_x}
\]
- Phương trình đường thẳng: \( y - c_y = \frac{-c_y}{\frac{b}{2} - c_x}(x - c_x) \)

4. **Xác định giao điểm \( I \) và \( K \):**
- Tìm tọa độ giao điểm \( I \) của \( MN \) và \( BD \).
- Tìm tọa độ giao điểm \( K \) của \( MN \) và \( CE \).

5. **Sử dụng độ dài và tính đối xứng:**
Xuất phát từ trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \) và tính chất của trung tuyến: Trọng tâm chia mỗi trung tuyến thành 2 phần theo tỷ lệ 2:1. Khi tính toán, sẽ có được:
\[
G = \left(\frac{A_x + B_x + C_x}{3}, \frac{A_y + B_y + C_y}{3}\right)
\]

Áp dụng định lý cơ bản về đối xứng và tính chất của trọng tâm, ta có thể cho thấy rằng khoảng cách \( MI, IK, KN \) là bằng nhau, từ đó suy ra \( MI = IK = KN \).

6. **Kết luận:**
Thiết lập cho \( MI = IK = KN \) dựa trên tính đồng dạng và bất biến khi đối xứng qua trọng tâm.

Vậy \( MI = IK = KN \) đã được chứng minh.