Để chứng minh rằng tứ giác \( MNPQ \) là hình bình hành, ta có thể sử dụng tính chất của các trung điểm cạnh trong tứ giác \( ABCD \).

1. **Xác định tọa độ:** Giả sử các đỉnh của tứ giác \( ABCD \) có tọa độ lần lượt là:
- \( A(x_1, y_1) \)
- \( B(x_2, y_2) \)
- \( C(x_3, y_3) \)
- \( D(x_4, y_4) \)

2. **Tọa độ các trung điểm:**
- Tọa độ trung điểm \( M \) của cạnh \( AB \):
\[
M\left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)
\]
- Tọa độ trung điểm \( N \) của cạnh \( BC \):
\[
N\left( \frac{x_2 + x_3}{2}, \frac{y_2 + y_3}{2} \right)
\]
- Tọa độ trung điểm \( P \) của cạnh \( CD \):
\[
P\left( \frac{x_3 + x_4}{2}, \frac{y_3 + y_4}{2} \right)
\]
- Tọa độ trung điểm \( Q \) của cạnh \( DA \):
\[
Q\left( \frac{x_4 + x_1}{2}, \frac{y_4 + y_1}{2} \right)
\]

3. **Tính phương trình đường thẳng:** Ta sẽ chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện của tứ giác \( MNPQ \) song song.

- **Tính độ dốc của các cạnh:**
- Độ dốc của đoạn thẳng \( MN \):
\[
k_{MN} = \frac{y_N - y_M}{x_N - x_M} = \frac{\frac{y_2 + y_3}{2} - \frac{y_1 + y_2}{2}}{\frac{x_2 + x_3}{2} - \frac{x_1 + x_2}{2}} = \frac{y_3 - y_1}{x_3 - x_1}
\]
- Độ dốc của đoạn thẳng \( PQ \):
\[
k_{PQ} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{\frac{y_4 + y_1}{2} - \frac{y_3 + y_4}{2}}{\frac{x_4 + x_1}{2} - \frac{x_3 + x_4}{2}} = \frac{y_1 - y_3}{x_1 - x_3}
\]

- Nhận thấy rằng \( k_{MN} = k_{PQ} \), vậy \( MN \parallel PQ \).

- **Tương tự cho cặp cạnh đối diện còn lại:**
- Cạnh \( NP \):
\[
k_{NP} = \frac{y_P - y_N}{x_P - x_N} = \frac{\frac{y_3 + y_4}{2} - \frac{y_2 + y_3}{2}}{\frac{x_3 + x_4}{2} - \frac{x_2 + x_3}{2}} = \frac{y_4 - y_2}{x_4 - x_2}
\]
- Cạnh \( MQ \):
\[
k_{MQ} = \frac{y_Q - y_M}{x_Q - x_M} = \frac{\frac{y_4 + y_1}{2} - \frac{y_1 + y_2}{2}}{\frac{x_4 + x_1}{2} - \frac{x_1 + x_2}{2}} = \frac{y_4 - y_2}{x_4 - x_2}
\]

- Nhận thấy rằng \( k_{NP} = k_{MQ} \), vậy \( NP \parallel MQ \).

4. **Kết luận:** Do \( MN \parallel PQ \) và \( NP \parallel MQ \), theo định nghĩa hình bình hành, chứng tỏ rằng tứ giác \( MNPQ \) là một hình bình hành.

Vậy ta đã hoàn thành việc chứng minh.