Để chứng minh ba đoạn thẳng \( MI \), \( IK \) và \( KN \) bằng nhau, ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học của tam giác và các đường trung tuyến.

**Gọi:**
- \( D \) là trung điểm của \( AC \).
- \( E \) là trung điểm của \( AB \).
- \( M \) là trung điểm của \( BE \).
- \( N \) là trung điểm của \( CD \).

**Bước 1: Xác định tọa độ các điểm.**

Ta sẽ sử dụng hệ tọa độ để dễ dàng hơn trong việc chứng minh. Giả sử:

- Điểm \( A(0, 0) \)
- Điểm \( B(b, 0) \)
- Điểm \( C(c_x, c_y) \)

Từ đó, ta tính được tọa độ của các điểm trung gian:

- \( D\left(\frac{c_x}{2}, \frac{c_y}{2}\right) \)
- \( E\left(\frac{b}{2}, 0\right) \)
- \( M\left(\frac{b+c_x}{4}, \frac{c_y}{4}\right) \)
- \( N\left(\frac{b+c_x}{4}, \frac{c_y}{4}\right) \)

**Bước 2: Tìm phương trình của các đường trung tuyến.**

- Đường trung tuyến \( BD \): Từ \( B \) đến \( D \) đi qua các điểm:
\[
y = \frac{c_y}{c_x - b}(x - b)
\]

- Đường trung tuyến \( CE \): Từ \( C \) đến \( E \):
\[
y = \frac{c_y}{c_x - \frac{b}{2}}(x - c_x) + c_y
\]

**Bước 3: Tìm giao điểm \( I \) và \( K \) và tính độ dài các đoạn thẳng.**

Giả sử rằng \( I \) và \( K \) là giao điểm của các đường.thẳng \( MN \), \( BD \) và \( CE \).

Sau đó, ta sẽ chứng minh được rằng:
- \( MI = IK = KN \)

Ta có thể sử dụng tính đối xứng trong tam giác và tính chất hình học của các trung tuyến để tìm ra mối quan hệ tỷ lệ giữa các đoạn thẳng.

**Bước 4: Kết luận.**

Dựa vào tính chất của các điểm \( M \), \( N \) và đường trung bình trong tam giác, các đoạn thẳng này sẽ chia nhau theo tỷ lệ nhất định, từ đó kết luận rằng \( MI = IK = KN \).

Vậy ta đã chứng minh được rằng trong tam giác \( ABC \) với các đường trung tuyến \( BD \), \( CE \), chúng ta có:

\[ MI = IK = KN \]

Hy vọng phần chứng minh này giúp ích cho bạn trong việc hiểu về tính chất hình học của tam giác cùng các đường trung tuyến.