Để chứng minh rằng tứ giác AMPN là hình vuông, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Ký hiệu và Đường thẳng:** Gọi \( A = (0, 0) \), \( B = (a, 0) \), \( C = (0, a) \) để dễ dàng tính toán. Trung điểm \( M \) của \( AB \) là \( M = \left( \frac{a}{2}, 0 \right) \) và trung điểm \( N \) của \( AC \) là \( N = \left( 0, \frac{a}{2} \right) \).

2. **Đường thẳng song song:** Đường thẳng đi qua \( M \) và song song với \( AC \) có phương trình: \( x = \frac{a}{2} \).

3. **Tìm điểm P:** Đường thẳng \( BC \) có phương trình \( y = -x + a \). Thay \( x = \frac{a}{2} \) vào phương trình này để tìm \( y_P \):
\[
y_P = -\frac{a}{2} + a = \frac{a}{2}
\]
Vậy, điểm \( P = \left( \frac{a}{2}, \frac{a}{2} \right) \).

4. **Kiểm tra tứ giác AMPN:**
- **Tính độ dài các cạnh:**
- Đoạn \( AM \): \( AM = \sqrt{\left( \frac{a}{2} - 0 \right)^2 + (0 - 0)^2} = \frac{a}{2} \).
- Đoạn \( AN \): \( AN = \sqrt{\left( 0 - 0 \right)^2 + \left( \frac{a}{2} - 0 \right)^2} = \frac{a}{2} \).
- Đoạn \( MP \): \( MP = \sqrt{\left( \frac{a}{2} - \frac{a}{2} \right)^2 + \left( \frac{a}{2} - 0 \right)^2} = \frac{a}{2} \).
- Đoạn \( NP \): \( NP = \sqrt{\left( \frac{a}{2} - 0 \right)^2 + \left( \frac{a}{2} - \frac{a}{2} \right)^2} = \frac{a}{2} \).

5. **Kiểm tra góc:**
- Góc \( AMP \) là góc vuông vì:
- Véc tơ \( \overrightarrow{AM} = \left( \frac{a}{2} - 0, 0 - 0 \right) = \left( \frac{a}{2}, 0 \right) \).
- Véc tơ \( \overrightarrow{AN} = \left( 0 - 0, \frac{a}{2} - 0 \right) = \left( 0, \frac{a}{2} \right) \).
- Tích vô hướng của \( \overrightarrow{AM} \) và \( \overrightarrow{AN} \):
\[
\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{AN} = \frac{a}{2} \cdot 0 + 0 \cdot \frac{a}{2} = 0
\]

Vậy tứ giác AMPN thỏa mãn:
- Có 4 cạnh bằng nhau (đều bằng \( \frac{a}{2} \)).
- Có 4 góc vuông.

Kết luận, hình AMPN là một hình vuông.