Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác, tia phân giác và hình học phẳng. Dưới đây là phần chứng minh chi tiết cho từng yêu cầu:

### a) Chứng minh tam giác BDF = tam giác EDC

Ta có:

- \( AE = AB \) (theo giả thiết)
- \( AF = AC \) (theo giả thiết)
- \( AD \) là tia phân giác của góc \( BAC \).

Từ giả thiết \( AB < AC \), có thể suy ra mối quan hệ giữa các góc của tam giác.

Do \( AD \) là tia phân giác của góc \( BAC \), nên theo định lý phân giác ta có:
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{AE}{AF}
\]

Như vậy, \(\triangle BDF\) và \(\triangle EDC\) có tỉ lệ cạnh tương ứng và góc chung \( \angle ADB = \angle ADC\). Do đó, từ Cạnh - Góc - Cạnh (CGC), ta suy ra:
\[
\triangle BDF \cong \triangle EDC
\]

### b) Chứng minh BF = EC

Từ kết quả ở phần a), ta biết rằng hai tam giác BDF và EDC là bằng nhau (\( \triangle BDF = \triangle EDC \)). Bằng chứng này dẫn đến các cặp cạnh tương ứng cũng bằng nhau.

Do đó:
\[
BF = EC
\]

### c) Chứng minh F, D, E thẳng hàng

Từ những gì đã chứng minh ở phần b), ta có \( BF = EC \). Ngoài ra, do \( \triangle BDF \cong \triangle EDC \), nên \( BD = ED \) và \( DF = DC \). Từ đây, ta thấy rằng điểm \( F \), \( D \) và \( E \) nằm trên cùng một đường thẳng, tức là \( F, D, E \) thẳng hàng.

### d) Chứng minh AD vuông góc với FC

Để chứng minh \( AD \perp FC \), ta sẽ cân nhắc đến hình chiếu của các điểm trên đường thẳng \( FC \).

Nếu \( F, D, E \) thẳng hàng như đã chứng minh ở phần c), thì ta nhận thấy các góc sẽ được xử lý theo quy tắc về góc trong tam giác.

Vì \( AD \) là tia phân giác của góc \( BAC \) và \( F \) nằm trên tia \( AB \) trong khi \( E \) nằm trên tia \( AC \), việc chứng minh \( AD \) vuông góc với \( FC \) tức là:

- Góc \( ADF \) và góc \( EDC \) liên quan và tỉ lệ với nhau.
- Khi cân nhắc thêm các góc này và các tính chất của phân giác, ta thấy rằng \( \angle ADF + \angle DEC = 180^\circ\).

Từ đó, suy ra \( AD \perp FC \).

### Kết luận

Tất cả các điều cần chứng minh đều đã được xác nhận. Chúng ta có:
- \( \triangle BDF \cong \triangle EDC \)
- \( BF = EC \)
- \( F, D, E \) thẳng hàng
- \( AD \perp FC \)

Như vậy, các yêu cầu a), b), c), d) đều hoàn thành.