Tìm giá trị lớn nhất

Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x, y) = -x^2 - 4x - y^2 + 2y \), ta sẽ biến đổi nó về dạng dễ dàng hơn bằng cách hoàn thành bình phương cho các biến \(x\) và \(y\).

1. **Hoàn thành bình phương cho biến \(x\)**:
\[
-x^2 - 4x = -(x^2 + 4x) = -\left( (x+2)^2 - 4 \right) = - (x+2)^2 + 4
\]

2. **Hoàn thành bình phương cho biến \(y\)**:
\[
-y^2 + 2y = -\left( y^2 - 2y \right) = -\left( (y-1)^2 - 1 \right) = - (y-1)^2 + 1
\]

3. Thay các biểu thức đã hoàn thành bình phương vào hàm \(f(x, y)\):
\[
f(x, y) = - (x+2)^2 + 4 - (y-1)^2 + 1 = - (x+2)^2 - (y-1)^2 + 5
\]

Hàm số \(f(x, y)\) có dạng:
\[
f(x, y) = 5 - (x+2)^2 - (y-1)^2
\]

4. **Tìm giá trị lớn nhất**:
Hàm số này đạt giá trị lớn nhất khi \( (x+2)^2 = 0 \) và \( (y-1)^2 = 0 \), điều này xảy ra khi:
\[
x + 2 = 0 \implies x = -2
\]
\[
y - 1 = 0 \implies y = 1
\]

5. **Tính giá trị lớn nhất của hàm**:
Thay \(x = -2\) và \(y = 1\) vào hàm:
\[
f(-2, 1) = 5 - 0 - 0 = 5
\]

Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số \( f(x, y) = -x^2 - 4x - y^2 + 2y \) là **5**.