Để tìm số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên, ta sẽ sử dụng các phương pháp giải bài toán đồng dư và tìm bội chung nhỏ nhất.

Đầu tiên, ta chuyển các điều kiện về dạng đồng dư:

1. \( x \equiv 5 \mod 8 \)
2. \( x \equiv 7 \mod 10 \)
3. \( x \equiv 12 \mod 15 \)
4. \( x \equiv 17 \mod 20 \)
5. \( x \equiv 0 \mod 41 \)

Bước tiếp theo là giải từng cặp phương trình đồng dư để tìm ra \( x \).

### Bước 1: Giải các phương trình đồng dư

Ta bắt đầu từ điều kiện đầu tiên và thứ nhất:

#### Từ \( x \equiv 5 \mod 8 \):
Ta có thể viết \( x = 8k + 5 \) với \( k \) là số nguyên.

Thay vào điều kiện thứ hai \( x \equiv 7 \mod 10 \):
\[
8k + 5 \equiv 7 \mod 10 \Rightarrow 8k \equiv 2 \mod 10
\]
\[
8k \equiv 2 \mod 10 \Rightarrow 4k \equiv 1 \mod 5
\]
Ta tìm số nghịch đảo của 4 mod 5, ta có \( 4 \times 4 = 16 \equiv 1 \mod 5 \), nên:
\[
k \equiv 4 \mod 5 \Rightarrow k = 5m + 4
\]

Substituting back into \( x \):
\[
x = 8(5m + 4) + 5 = 40m + 32 + 5 = 40m + 37
\]
Do đó, ta có:
\[
x \equiv 37 \mod 40
\]

### Bước 2: Giải tiếp với điều kiện thứ ba \( x \equiv 12 \mod 15 \)

Giải tiếp từ \( x \equiv 37 \mod 40 \):
\[
x = 40n + 37
\]

Thay vào điều kiện thứ ba:
\[
40n + 37 \equiv 12 \mod 15 \Rightarrow 40n \equiv 12 - 37 \mod 15
\]
\[
40n \equiv -25 \mod 15 \Rightarrow 40n \equiv 5 \mod 15 \Rightarrow 10n \equiv 5 \mod 15
\]
Chia cả hai vế cho 5, ta có:
\[
2n \equiv 1 \mod 3
\]
Số nghịch đảo của 2 mod 3 là 2:
\[
n \equiv 2 \mod 3 \Rightarrow n = 3p + 2
\]
Thay vào:
\[
x = 40(3p + 2) + 37 = 120p + 80 + 37 = 120p + 117
\]
Do đó:
\[
x \equiv 117 \mod 120
\]

### Bước 3: Giải tiếp với điều kiện thứ tư \( x \equiv 17 \mod 20 \)

Từ \( x \equiv 117 \mod 120 \):
\[
x = 120q + 117
\]

Thay vào điều kiện thứ tư:
\[
120q + 117 \equiv 17 \mod 20 \Rightarrow 0q + 17 \equiv 17 \mod 20
\]
Điều này luôn đúng, ta vẫn giữ được:
\[
x \equiv 117 \mod 120
\]

### Bước 4: Tính đến điều kiện cuối cùng \( x \equiv 0 \mod 41 \)

Ta có:
\[
x = 120r + 117
\]

Thay vào điều kiện cuối cùng:
\[
120r + 117 \equiv 0 \mod 41
\]
Tính \( 120 \mod 41 \):
\[
120 \div 41 = 2 \quad \text{và} \quad 120 - 82 = 38 \Rightarrow 120 \equiv 38 \mod 41
\]
Giải \( 38r + 117 \equiv 0 \mod 41 \):
\[
38r \equiv -117 \mod 41 \Rightarrow -117 \equiv 17 \mod 41
\]
Do đó:
\[
38r \equiv 17 \mod 41
\]
Tìm số nghịch đảo của 38 mod 41:
\[
38 \equiv -3 \mod 41
\]
Số nghịch đảo của \(-3\) là \(-14 \equiv 27 \mod 41\):
\[
r \equiv 27 \times 17 \mod 41
\]
Tính \( 27 \times 17 \):
\[
27 \times 17 = 459 \quad \Rightarrow \quad 459 \mod 41 = 6
\]
Vậy:
\[
r \equiv 6 \mod 41 \Rightarrow r = 41s + 6
\]
Thay trở lại vào \( x \):
\[
x = 120(41s + 6) + 117 = 4920s + 720 + 117 = 4920s + 837
\]

Ta cần tìm số nhỏ nhất \( s = 0 \):
\[
x = 837
\]

### Kết luận

Số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn tất cả các điều kiện trên là \( x = 837 \).