Để giải bài toán này, ta sẽ tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức \( Q \).

### 1. Điều kiện xác định
Biểu thức \( Q \) chứa các thành phần liên quan đến căn bậc hai và phân số. Cụ thể:

- \( \sqrt{x} \) phải dương, nghĩa là \( x > 0 \).
- Các mẫu số \( \sqrt{x} + 4 \) và \( \sqrt{x} - 4 \) phải khác 0.
- \( \sqrt{x} + 4 > 0 \) luôn đúng với \( x > 0 \).
- \( \sqrt{x} - 4 \neq 0 \) tương đương \( \sqrt{x} \neq 4 \) hay \( x \neq 16 \).

Vì vậy, điều kiện xác định của \( Q \) là:
\[
x > 0 \quad \text{và} \quad x \neq 16.
\]

### 2. Rút gọn biểu thức
Ta bắt đầu với biểu thức
\[
Q = \left( \frac{1}{\sqrt{x} + 4} + \frac{1}{\sqrt{x} - 4} \right) \cdot \frac{\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x}}.
\]

Rút gọn phần trong ngoặc:
\[
\frac{1}{\sqrt{x} + 4} + \frac{1}{\sqrt{x} - 4} = \frac{(\sqrt{x} - 4) + (\sqrt{x} + 4)}{(\sqrt{x} + 4)(\sqrt{x} - 4)} = \frac{2\sqrt{x}}{x - 16}.
\]

Sau đó nhân với \(\frac{\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x}}\):
\[
Q = \frac{2\sqrt{x}}{x - 16} \cdot \frac{\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x}} = \frac{2(\sqrt{x} + 4)}{x - 16}.
\]

Cuối cùng, ta rút gọn biểu thức \( Q \):
\[
Q = \frac{2(\sqrt{x} + 4)}{x - 16}.
\]

### Kết luận
Biểu thức \( Q \) đã được rút gọn là:
\[
Q = \frac{2(\sqrt{x} + 4)}{x - 16}
\]
với điều kiện xác định:
\[
x > 0 \quad \text{và} \quad x \neq 16.
\]