Cho hình thang ABCD có đáy lớn là CD, đường thằng kẻ từ A song song với BC cắt BD tại E, đường thẳng kẻ từ B song song với AD cắt AC tại F. Chứng minh rằng EF//AB

Để chứng minh rằng \( EF \parallel AB \) trong hình thang \( ABCD \) với \( CD \) là đáy lớn, ta sử dụng các định nghĩa và tính chất của hình thang và đường thẳng song song.

**Bước 1: Phân tích hình thang.**

Giả sử thiết lập tọa độ cho các đỉnh của hình thang \( ABCD \):

- Cho \( D \) tại điểm \( (0, 0) \)
- Cho \( C \) tại điểm \( (c, 0) \)
- Cho \( A \) tại điểm \( (a, h) \) với \( a < b \) (vì \( A \) và \( B \) nằm trên đáy lớn)
- Cho \( B \) tại điểm \( (b, h) \)

Vì \( CD \) là đáy lớn và \( AB \) là đáy nhỏ, ta có \( c > b \) và \( a \).

**Bước 2: Xác định các điểm E và F.**

1. **Điểm E:**
- Đường thẳng song song với \( BC \) từ \( A \) sẽ cắt \( BD \) tại điểm \( E \).
- Do đó, \(\angle AEB = \angle ABC\) (cùng phía).

2. **Điểm F:**
- Đường thẳng song song với \( AD \) từ \( B \) sẽ cắt \( AC \) tại điểm \( F \).
- Do đó, \(\angle BFA = \angle ACD\) (cùng phía).

**Bước 3: Sử dụng định lý về các đường thẳng song song.**

Theo tính chất của các đường thẳng song song:

- Từ \( \angle AEB = \angle ABC \) và \( \angle BFA = \angle ACD \), ta có:
\[
\angle AEF = \angle ABC
\]
và
\[
\angle AFE = \angle ACD.
\]

Vì \( AB \) là cạnh nối hai đỉnh bên trên của hình thang và \( EF \) là đoạn nối hai điểm \( E \) và \( F \) nằm trên các đường thẳng song song, kết hợp với việc \( AB \) và \( EF \) đều nằm trên các đường thẳng song song, ta có:
\[
EF \parallel AB.
\]

**Kết luận:**
Vậy ta đã chứng minh được rằng \( EF \parallel AB \).