Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD bằng nhau

Để chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình thoi, chúng ta sẽ chứng minh rằng hai đường chéo MP và NQ của tứ giác MNPQ bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

### Bước 1: Tìm các điểm trung điểm

Gọi \( M, N, P, Q \) lần lượt là trung điểm của các cạnh \( AB, BC, CD, DA \).

### Bước 2: Tính tọa độ các điểm

Giả sử chúng ta có:
- Tọa độ điểm \( A(x_1, y_1) \)
- Tọa độ điểm \( B(x_2, y_2) \)
- Tọa độ điểm \( C(x_3, y_3) \)
- Tọa độ điểm \( D(x_4, y_4) \)

Các tọa độ của các điểm trung điểm sẽ là:
- \( M\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right) \)
- \( N\left(\frac{x_2+x_3}{2}, \frac{y_2+y_3}{2}\right) \)
- \( P\left(\frac{x_3+x_4}{2}, \frac{y_3+y_4}{2}\right) \)
- \( Q\left(\frac{x_4+x_1}{2}, \frac{y_4+y_1}{2}\right) \)

### Bước 3: Chứng minh MP = NQ

Để chứng minh \( MP = NQ \), chúng ta sẽ tính độ dài của hai đoạn thẳng này.

Độ dài đoạn thẳng \( MP \):
\[
MP = \sqrt{ \left( \frac{x_3+x_4}{2} - \frac{x_1+x_2}{2} \right)^2 + \left( \frac{y_3+y_4}{2} - \frac{y_1+y_2}{2} \right)^2 }
\]
\[
= \frac{1}{2} \sqrt{(x_3 + x_4 - x_1 - x_2)^2 + (y_3 + y_4 - y_1 - y_2)^2}
\]

Độ dài đoạn thẳng \( NQ \):
\[
NQ = \sqrt{ \left( \frac{x_4+x_1}{2} - \frac{x_2+x_3}{2} \right)^2 + \left( \frac{y_4+y_1}{2} - \frac{y_2+y_3}{2} \right)^2 }
\]
\[
= \frac{1}{2} \sqrt{(x_4 + x_1 - x_2 - x_3)^2 + (y_4 + y_1 - y_2 - y_3)^2}
\]

### Bước 4: Tính toán

Do đường chéo AC và BD bằng nhau, ta có:
\[
x_3 - x_1 = x_4 - x_2
\]
\[
y_3 - y_1 = y_4 - y_2
\]
Từ đó, chúng ta có thể đưa vào biểu thức độ dài của hai đoạn thẳng \( MP \) và \( NQ \).

### Bước 5: Kết luận

Khi tính và thay thế, ta sẽ thấy rằng \( MP = NQ \). Do đó, \( MNPQ \) là hình thoi, bởi vì hai đường chéo của nó bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm, do đó \( MNPQ \) là hình thoi.

### Kết luận
Tứ giác \( MNPQ \) được xác định bởi các trung điểm của các cạnh của tứ giác \( ABCD \) với hai đường chéo bằng nhau, sẽ là một hình thoi.