Để tìm số tự nhiên nhỏ nhất \( x \) sao cho:

- \( x \equiv 3 \ (\text{mod} \ 5) \)
- \( x \equiv 4 \ (\text{mod} \ 7) \)
- \( x \equiv 5 \ (\text{mod} \ 9) \)

Chúng ta sẽ giải hệ phương trình đồng dư này.

1. **Phương trình đầu tiên**: Từ \( x \equiv 3 \ (\text{mod} \ 5) \), ta có thể biểu diễn \( x \) như sau:
\[
x = 5k + 3
\]
với \( k \) là một số nguyên.

2. **Thay vào phương trình thứ hai**:
Thay \( x \) vào phương trình thứ hai:
\[
5k + 3 \equiv 4 \ (\text{mod} \ 7)
\]
Giải phương trình này:
\[
5k \equiv 1 \ (\text{mod} \ 7)
\]
Để giải phương trình này, tìm nghịch đảo của \( 5 \) mod \( 7 \). Ta thử các giá trị:
- \( 5 \times 1 = 5 \equiv 5 \)
- \( 5 \times 2 = 10 \equiv 3 \)
- \( 5 \times 3 = 15 \equiv 1 \) (tìm thấy)

Nghịch đảo của \( 5 \) mod \( 7 \) là \( 3 \). Vậy:
\[
k \equiv 3 \ (\text{mod} \ 7)
\]
Hay ta có:
\[
k = 7m + 3
\]
với \( m \) là một số nguyên.

3. **Thay vào biểu thức của \( x \)**:
Thay \( k \) vào biểu thức của \( x \):
\[
x = 5(7m + 3) + 3 = 35m + 15 + 3 = 35m + 18
\]

4. **Thay vào phương trình thứ ba**:
Ta có \( x \equiv 5 \ (\text{mod} \ 9) \):
\[
35m + 18 \equiv 5 \ (\text{mod} \ 9)
\]
Tính \( 35 \mod 9 \) và \( 18 \mod 9 \):
\[
35 \equiv 8 \ (\text{mod} \ 9) \quad \text{và} \quad 18 \equiv 0 \ (\text{mod} \ 9)
\]
Vậy phương trình trở thành:
\[
8m \equiv 5 \ (\text{mod} \ 9)
\]
Tìm nghịch đảo của \( 8 \) mod \( 9 \):
- \( 8 \times 1 \equiv 8 \)
- \( 8 \times 2 \equiv 7 \)
- \( 8 \times 3 \equiv 6 \)
- \( 8 \times 4 \equiv 5 \)
- \( 8 \times 5 \equiv 4 \)
- \( 8 \times 6 \equiv 3 \)
- \( 8 \times 7 \equiv 2 \)
- \( 8 \times 8 \equiv 1 \) (tìm thấy)

Nghịch đảo của \( 8 \) mod \( 9 \) là \( 8 \). Ta có:
\[
m \equiv 8 \times 5 \equiv 40 \equiv 4 \ (\text{mod} \ 9)
\]
Hay:
\[
m = 9n + 4
\]
với \( n \) là một số nguyên.

5. **Thay vào biểu thức của \( x \)**:
Thay vào \( x \):
\[
x = 35(9n + 4) + 18 = 315n + 140 + 18 = 315n + 158
\]

Để tìm số tự nhiên nhỏ nhất, chọn \( n = 0 \):
\[
x = 158
\]

Vậy số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện là \( \boxed{158} \).