Tính diện tích tứ giác AMHN

Để giải bài toán này, trước tiên chúng ta cần xác định các tọa độ của các điểm và các thông tin liên quan đến tứ giác AMHN.

Cho tam giác ABC vuông tại A, với \( AB = 3 \) cm và \( AC = 4 \) cm. Sử dụng hệ tọa độ, ta có thể gán các tọa độ như sau:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(3, 0) \)
- \( C(0, 4) \)

Bây giờ, chúng ta xác định tọa độ của điểm \( H \), là chân đường cao từ \( A \) xuống \( BC \):
1. Đường thẳng \( BC \) có phương trình: \( y = -\frac{4}{3}x + 4 \).
2. Đường cao \( AH \) sẽ có hệ số góc là \( \frac{3}{4} \) (đường vuông góc với \( BC \)) và đi qua \( A(0, 0) \). Phương trình đường thẳng \( AH \) là $ y = \frac{3}{4}x $.
3. Tìm giao điểm \( H \) của hai đường thẳng \( y = \frac{3}{4}x \) và \( y = -\frac{4}{3}x + 4 \):

\[
\frac{3}{4}x = -\frac{4}{3}x + 4
\]

Giải phương trình trên ta được:

\[
\frac{3}{4}x + \frac{4}{3}x = 4
\]

Nhân đều hai vế với 12 để loại bỏ mẫu:

\[
9x + 16x = 48 \implies 25x = 48 \implies x = \frac{48}{25}
\]

Thay \( x \) vào phương trình của \( AH \):

\[
y = \frac{3}{4} \cdot \frac{48}{25} = \frac{36}{25}
\]

Vậy, tọa độ \( H \) là \( H\left(\frac{48}{25}, \frac{36}{25}\right) \).

Tiếp theo, chúng ta có:
- Điểm \( N \) là điểm trên đoạn \( AC \), với \( HN \) vuông góc với \( AC \).
- Tính toán chiều dài \( BH \) và \( HC \):

Tỉ lệ \( BH : CH = 2 : 3 \) sẽ cho ta được \( CH = \frac{3}{2} BH \).

Tổng chiều dài \( BC = BH + CH \) và vì \( BC = 5 \) cm, ta có:

\[
BH + \frac{3}{2} BH = 5 \implies \frac{5}{2} BH = 5 \implies BH = 2 \implies CH = 3
\]

Cuối cùng, để tính diện tích tứ giác AMHN, ta sẽ sử dụng định lý diện tích tứ giác.

Hình chữ nhật AMHN nằm trong tam giác ABC. Diện tích của tứ giác AMHN có thể được tính dễ dàng qua diện tích của tam giác ABC và tỉ lệ của nó.

Diện tích tam giác ABC:

\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \text{ cm}^2
\]

Sau đó, do là hình chữ nhật nên diện tích tứ giác AMHN sẽ bằng diện tích hình tam giác nhân với tỉ lệ của nó.

Chúng ta xác định:
- Tỉ lệ giữa HN và AC là \( \frac{HN}{AC} = \frac{2}{5} \) (theo tỉ lệ BH : CH).

Kết quả, diện tích tứ giác \( AMHN = S_{ABC} \cdot \frac{2}{5} = 6 \cdot \frac{2}{5} = \frac{12}{5} \text{ cm}^2 \).

Chúc bạn học tốt!