Để chứng minh rằng nếu \( (7a + 5 - 21b) \equiv 0 \mod 7 \) và \( (a + 1 - 3b) \equiv 0 \mod 7 \) thì \( (11b + 15 + 43a) \equiv 0 \mod 7 \).

Trước hết, ta có:

1. Từ điều kiện \( (7a + 5 - 21b) \equiv 0 \mod 7 \):
- Ta biết rằng \( 7a \equiv 0 \mod 7 \) và \( 21b \equiv 0 \mod 7 \), do đó điều này trở thành \( 5 \equiv 0 \mod 7 \) là không đúng, nên chúng ta không cần tính tiếp với điều kiện này, thay vào đó ta xét điều kiện thứ hai.

2. Từ điều kiện \( (a + 1 - 3b) \equiv 0 \mod 7 \):
- Điều này có thể viết lại là \( a - 3b \equiv -1 \mod 7 \) hay \( a \equiv 3b - 1 \mod 7 \).

Bây giờ, chúng ta sẽ thay thế giá trị của \( a \) vào biểu thức \( 11b + 15 + 43a \):

\[
11b + 15 + 43a = 11b + 15 + 43(3b - 1)
\]
\[
= 11b + 15 + 129b - 43
\]
\[
= (11b + 129b) + (15 - 43)
\]
\[
= 140b - 28
\]

Chúng ta cần kiểm tra xem \( 140b - 28 \equiv 0 \mod 7 \).

Tính từng phần:

\[
140b \equiv 0 \mod 7 \quad \text{vì } 140 = 7 \times 20
\]
\[
-28 \equiv 0 \mod 7 \quad \text{vì } -28 = 7 \times (-4)
\]

Do đó:
\[
140b - 28 \equiv 0 - 0 \equiv 0 \mod 7
\]

Kết luận, chúng ta đã chứng minh được rằng \( 11b + 15 + 43a \equiv 0 \mod 7 \). Thus, \( (11b + 15 + 43a) \equiv 0 \mod 7 \) khi \( (7a + 5 - 21b) \equiv 0 \mod 7 \) và \( (a + 1 - 3b) \equiv 0 \mod 7 \).