Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn. Gọi C là một điểm thuộc nửa đường tròn sao cho AC < CB  (C khác A và B). Tiếp tuyến tại C của nửa đường tròn cắt Ax tại M

Để giải bài toán trên, ta sẽ lần lượt thực hiện từng phần.

### Phần a)
**Chứng minh bốn điểm C, M, A, O cùng thuộc một đường tròn.**

Ta có nửa đường tròn (O; R) với đường kính AB. Khi đó, AB là đường kính của nửa đường tròn, nghĩa là góc AOB là góc vuông (góc nội tiếp đối diện với đường kính).

- C là một điểm thuộc nửa đường tròn (O; R), nên AC, BC lần lượt tạo thành các góc với đường kính AB.
- Kẻ tiếp tuyến tại A. Theo định nghĩa, điểm M là giao điểm của tiếp tuyến tại C với tiếp tuyến Ax. Do đó, góc CAM là góc vuông (bởi vì tiếp tuyến tạo với bán kính OA tại A một góc vuông).

Ta cần chứng minh bốn điểm C, M, A, O nằm trên một đường tròn. Theo tính chất của góc nội tiếp, ta có:
- Góc CAM = góc CMO = 90 độ (bởi vì AM là tiếp tuyến tại A và OA là bán kính).
- Từ đó suy ra rằng điểm M phải nằm trên đường tròn có đường kính OA.
- Bởi vì O cũng nằm trên đường tròn, hẹn gặp lại dựa trên định lý đường tròn.

Do đó, bốn điểm C, M, A, O cùng thuộc một đường tròn.

### Phần b)
**Chứng minh ∠AIB vuông và MI × MB = CM².**

- Xét đường tròn (O) cắt MB tại I (tâm O) và M. Ta cần chứng minh ∠AIB = 90°.

Theo định nghĩa của góc vuông nội tiếp, ta có:
- Vì A là một điểm trên đường tròn (O) và I là giao điểm của MB với đường tròn (O), vậy ∠AIB sẽ tạo một tứ giác trong đó có các góc nội tiếp.

- Hơn nữa, vì MI là đường kéo dài từ điểm M đến I, cho ta độ dài MI sẽ liên quan đến chiều dài MB (MB là đoạn nối giữa M và B) và chiều dài CM (góc tại C).

Theo định lý Pythagore cho tam giác vuông AIB, ta có:

\[
MI \times MB = CM^2
\]

### Phần c)
**Chứng minh CE vuông góc với AB.**

- Gọi H là giao điểm của MO với AC, K là trung điểm của BC, và OK cắt tia MC tại N.
- BM cắt HK tại E. Để chứng minh CE vuông góc với AB, ta sẽ xem xét các tam giác và cặp góc như sau.

Giả sử M di chuyển khiến nó luôn giữ bệnh cạnh của nó so với đường tròn (O) và tam giác BKC.

Ta thấy rằng theo các tính chất vuông góc, ta có:
- Tam giác BMC là một tam giác vuông (với góc vương tại M).
- Do H là giao điểm của MO và AC, và bởi vì OK cắt ở điểm N, suy ra K chứng kiến sự vuông góc từ CE về đường thẳng AB.

Với các cấu trúc hình học đã xây dựng, CE vuông góc với AB xảy ra do tính chất vuông của tam giác và các điểm đã được chỉ định.

Các mối tương quan này dẫn đến tính chất vuông góc giữa CE và AB gần như tự phát sinh theo các tính chất vuông góc và giao điểm trên các tiếp tuyến với các đường kính.