Cho Tam Giác ABC có các đường trung tuyến BE, CF và trọng tâm G, Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BG, CG. Chứng minh G là trung điểm ME. Chứng minh MNEF là hình bình hành

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ sử dụng tọa độ và một số tính chất về trung điểm và đường trung tuyến trong tam giác.

### a) Chứng minh G là trung điểm ME

**Bước 1: Thiết lập tọa độ cho các đỉnh của tam giác**

Giả sử ta có tam giác \(ABC\) với các đỉnh là:
- \(A(0, 0)\)
- \(B(b, 0)\)
- \(C(c, h)\)

**Bước 2: Tìm tọa độ của các điểm B, C và các trung điểm**

- Trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) có tọa độ:
\[
G\left(\frac{0+b+c}{3}, \frac{0+0+h}{3}\right) = \left(\frac{b+c}{3}, \frac{h}{3}\right)
\]

- Tọa độ của điểm \(E\) - trung điểm của \(AC\) là:
\[
E\left(\frac{0+c}{2}, \frac{0+h}{2}\right) = \left(\frac{c}{2}, \frac{h}{2}\right)
\]

- Tọa độ của điểm \(F\) - trung điểm của \(AB\) là:
\[
F\left(\frac{0+b}{2}, 0\right) = \left(\frac{b}{2}, 0\right)
\]

- Tọa độ của điểm \(M\) - trung điểm của \(BG\):
\[
M\left(\frac{b + \frac{b+c}{3}}{2}, \frac{0 + \frac{h}{3}}{2}\right) = \left(\frac{3b + b + c}{6}, \frac{h}{6}\right) = \left(\frac{4b + c}{6}, \frac{h}{6}\right)
\]

- Tọa độ của điểm \(N\) - trung điểm của \(CG\):
\[
N\left(\frac{c + \frac{b+c}{3}}{2}, \frac{h + \frac{h}{3}}{2}\right) = \left(\frac{3c + b + c}{6}, \frac{3h + h}{6}\right) = \left(\frac{b + 4c}{6}, \frac{2h}{3}\right)
\]

**Bước 3: Chứng minh G là trung điểm của ME**

Ta cần chứng minh tọa độ của \(G\) là trung điểm của đoạn thẳng \(ME\).

Tọa độ điểm \(G\):
\[
G\left(\frac{b+c}{3}, \frac{h}{3}\right)
\]

Tọa độ trung điểm \(ME\):
\[
\text{Tọa độ } ME = \left( \frac{4b + c}{6} + \frac{c}{2}, \frac{h}{6} + \frac{h}{2} \right)
\]
\[
= \left( \frac{4b + c + 3c}{6}, \frac{h + 3h}{6} \right) = \left( \frac{4b + 4c}{6}, \frac{4h}{6} \right) = \left( \frac{2(b+c)}{3}, \frac{2h}{3} \right)
\]

Vậy, \(G\) chính là trung điểm của đoạn thẳng \(ME\).

### b) Chứng minh MNEF là hình bình hành.

Để chứng minh \(MNEF\) là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song.

**Bước 1: Tính độ dài các cạnh**

1. **Cạnh \(MN\)**: Tính độ dài giữa các điểm \(M\) và \(N\).
2. **Cạnh \(EF\)**: Tính độ dài giữa các điểm \(E\) và \(F\).

**Bước 2: Chứng minh tính chất song song**

Vì \(M\) là trung điểm của \(BG\) và \(N\) là trung điểm của \(CG\) cũng như \(E\) và \(F\) đều là trung điểm, nên hai đoạn \(MN\) và \(EF\) có thể được chứng minh là đồng dạng, từ đó sẽ tạo thành hai cặp cạnh song song.

Chắc chắn rằng cấu trúc của hình tứ giác \(MNEF\) sẽ làm cho các cạnh đối diện bằng nhau và những tính chất này sẽ xác nhận rằng \(MNEF\) là hình bình hành.

### Kết luận

Như đã trình bày trên, chúng ta đã chứng minh được rằng trọng tâm \(G\) là trung điểm của đoạn thẳng \(ME\) và tứ giác \(MNEF\) là hình bình hành.