Cho tam giác ABC vuông ở A. Lấy điểm M là trung điểm AC. Trên tia đối của tia MB lấy điểm E sao cho  MB = ME. Tính số đo góc ACB? Chứng minh ∆AMB = ∆CME

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành từng phần một.

### a) Tính số đo góc ACB.

Cho tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \). Giả sử \( M \) là trung điểm của \( AC \).

Gọi góc \( ACB \) là \( \theta \). Khi đặt điểm \( E \) trên tia đối của \( MB \) sao cho \( MB = ME \), ta có như sau:

1. Do \( M \) là trung điểm của \( AC \) nên \( AM = MC \).
2. Trong tam giác vuông \( ABC \), cùng với định lý sin, chúng ta có:

\[
\tan(\theta) = \frac{AB}{AC}
\]

Và từ tính chất của các đường trung tuyến, vì \( M \) là trung điểm của \( AC \), ta có:

\[
MB = \frac{1}{2}AB
\]

Vì \( MB = ME \), nên \( ME = MB \).

Từ đó, ta có \( A \), \( M \), \( C \), \( E \) nằm trên cùng một đường thẳng. Ta cũng có thể nhận thấy rằng góc \( CME \) sẽ bằng \( 90^\circ - \theta \) vì tam giác \( ABC \) là vuông tại \( A \).

Do đó, góc \( ACB = \theta \).

### b) Chứng minh \( \Delta AMB = \Delta CME \).

Để chứng minh \( \Delta AMB = \Delta CME \), chúng ta sẽ chứng minh rằng hai tam giác này có ba cặp cạnh tương ứng bằng nhau.

1. **Cạnh \( AM \):**
- \( M \) là trung điểm của \( AC \), do đó \( AM = MC \).

2. **Cạnh \( MB = ME \):**
- Theo giả thiết, chúng ta đã có \( MB = ME \).

3. **Góc:**
- Xét góc \( \angle AMB \) và \( \angle CME \):
- Ta thấy rằng \( \angle AMB \) và \( \angle CME \) là góc đối đỉnh (cùng bằng góc này) vì \( A, B, C, E \) nằm trên cùng một đường thẳng.

Từ đó, ta có:

- \( AM = MC \) (1)
- \( MB = ME \) (2)
- \( \angle AMB = \angle CME\) (3)

Vậy theo tiêu chuẩn tam giác đồng dạng (2 cạnh và 1 góc giữa bằng nhau), ta có:

\[
\Delta AMB \cong \Delta CME
\]

Do đó, \( \Delta AMB \) bằng \( \Delta CME \).

Cuối cùng, đáp số là số đo góc \( ACB \) được tính là \( \theta \) và đã chứng minh rằng \( \Delta AMB = \Delta CME \).