Để giải bài tập này, ta sẽ thực hiện từng yêu cầu một:

### a) Rút gọn biểu thức A.

Biểu thức A được cho là:

\[
A = \left( \frac{x^{-3} - \frac{x}{x^{-3}} + 9}{x^2 - 3x} \right) \cdot \frac{2x - 2}{x}
\]

Đầu tiên, ta rút gọn từng phần bên trong biểu thức.

1. Rút gọn hàm số ở phần tử đầu tiên:

\[
x^{-3} = \frac{1}{x^3}
\]
\[
\frac{x}{x^{-3}} = x \cdot x^3 = x^4
\]

Do đó, ta có:

\[
x^{-3} - \frac{x}{x^{-3}} + 9 = \frac{1}{x^3} - x^4 + 9
\]

2. Bây giờ thay thế vào biểu thức A và rút gọn.

### b) Tính giá trị biểu thức A với x thỏa mãn: \(|x - 1| = 1\)

Điều này có nghĩa là:

\[
x - 1 = 1 \implies x = 2
\]
hoặc
\[
x - 1 = -1 \implies x = 0
\]

Ta sẽ loại bỏ \(x = 0\) vì nó không nằm trong điều kiện đã cho, do đó \(x = 2\).

### c) Tìm giá trị nguyên của x để giá trị biểu thức A nguyên.

Giá trị của \(x\) có thể lấy các giá trị nguyên mà không vi phạm điều kiện \(x \neq 0, x \neq -1, x \neq 1, x \neq 3\).

Các giá trị nguyên có thể đề xuất là:

- \(x = 2\)
- \(x = 4\), \(x = -2\), \(x = -3\), v.v.

**Kết luận**:

- Sau khi rút gọn, xác định giá trị tại \(x = 2\) và tìm các giá trị nguyên hợp lệ.