Để giải phương trình \( \sqrt{x^2 + 2x + 6} + x^2 = \sqrt{2x + 2 - x + 3} \), trước tiên ta đơn giản hóa biểu thức bên phải.

1. Rút gọn biểu thức bên phải:
\[
\sqrt{2x + 2 - x + 3} = \sqrt{x + 5}
\]

Vậy phương trình trở thành:
\[
\sqrt{x^2 + 2x + 6} + x^2 = \sqrt{x + 5}
\]

2. Đưa các số hạng về một phía:
\[
\sqrt{x^2 + 2x + 6} = \sqrt{x + 5} - x^2
\]

3. Bây giờ, bình phương cả hai vế để loại bỏ căn:
\[
x^2 + 2x + 6 = ( \sqrt{x + 5} - x^2 )^2
\]
4. Mở rộng vế phải:
\[
x^2 + 2x + 6 = (x + 5) - 2x^2 \sqrt{x + 5} + x^4
\]

5. Đưa tất cả về một phía để có phương trình dạng:
\[
x^4 - 3x^2 - 2x\sqrt{x + 5} + x - 5 = 0
\]

6. Bây giờ tập trung giải phương trình này:
Để đơn giản, ta có thể thử một số giá trị đơn giản cho \( x \).

+ Thử \( x = 1 \):
\[
\sqrt{1^2 + 2 \cdot 1 + 6} + 1^2 = \sqrt{1 + 5} \\
\sqrt{9} + 1 = \sqrt{6} \\
3 + 1 = 2 \quad \text{(sai)}
\]

+ Thử \( x = 0 \):
\[
\sqrt{0 + 0 + 6} + 0 = \sqrt{0 + 5} \\
\sqrt{6} = \sqrt{5} \quad \text{(sai)}
\]

+ Thử \( x = -1 \):
\[
\sqrt{(-1)^2 + 2 \cdot (-1) + 6} + (-1)^2 = \sqrt{-1 + 5} \\
\sqrt{1 - 2 + 6} + 1 = \sqrt{4} \\
\sqrt{5} + 1 = 2 \quad \text{(sai)}
\]

Sau khi thử các giá trị này, có thể thấy việc tìm nghiệm trực tiếp không hiệu quả. Ta nên xem xét lại việc bình phương và có thể cần kiểm tra các điều kiện số dương của căn.

Từ các giá trị thử nghiệm, không có nghiệm cho phương trình này, nhưng để khẳng định hoàn toàn, có thể cần phân tích sâu hơn các đặc điểm của phương trình hoặc sử dụng công cụ giải phương trình số để kiểm tra mọi giá trị của \( x \).