Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M, N là trung điểm AB, AC. Qua M kẻ đường thẳng song song AC và cắt BC tại P. Chứng minh rằng AMPN là hình vuông

Để chứng minh rằng tứ giác AMPN là hình vuông, ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

1. **Xác định các điểm**:
- Giả sử tam giác ABC vuông cân tại A với AB = AC = a.
- M là trung điểm của AB: \( M\left(\frac{a}{2}, 0\right) \)
- N là trung điểm của AC: \( N\left(0, \frac{a}{2}\right) \)
- P là điểm trên BC khi ta kẻ đường thẳng qua M song song với AC.

2. **Tính tọa độ điểm P**:
- Đường thẳng BC có phương trình y = -x + a.
- Đường thẳng qua M song song với AC sẽ có phương trình y = 0 (y = 0 vì AC nằm dọc).
- Tìm P: Giải \( 0 = -x + a \Rightarrow x = a \), do đó P(a, 0).

3. **Tính chiều dài các cạnh**:
- Tính độ dài AM:
\[
AM = \sqrt{(M_x - A_x)^2 + (M_y - A_y)^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + (0 - 0)^2} = \frac{a}{2}
\]
- Tính độ dài AN:
\[
AN = \sqrt{(N_x - A_x)^2 + (N_y - A_y)^2} = \sqrt{(0 - 0)^2 + \left(\frac{a}{2} - 0\right)^2} = \frac{a}{2}
\]

4. **Chứng minh AM = AN**:
Với AM = AN = \(\frac{a}{2}\), ta có tứ giác AMNP có hai cạnh đối diện bằng nhau.

5. **Chứng minh góc AMN = 90 độ**:
- Đường thẳng AN dọc và đường thẳng MP ngang (song song với AC) sẽ tạo với nhau một góc vuông.
- Do đó: góc AMN = 90 độ.

6. **Kết luận**:
Vì AM = AN và góc AMN = 90 độ, tứ giác AMPN là hình vuông.

Vậy ta đã chứng minh rằng AMPN là hình vuông.