Cho tam giác ABD cân tại A với AB = AD = 6, góc BAD = 120 độ. Gọi C là điểm đối xứng với d qua A. Tính độ dài vectơ BC + vectơ BA

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tọa độ trong mặt phẳng để xác định các điểm và tính toán độ dài của vectơ.

1. **Xác định tọa độ các điểm**:
- Giả sử điểm \( A \) có tọa độ \( A(0, 0) \).
- Do tam giác \( ABD \) là tam giác cân tại \( A \) với \( AB = AD = 6 \) và góc \( \angle BAD = 120^\circ \), ta sẽ xác định tọa độ của các điểm \( B \) và \( D \).
- Kích hoạt hệ tọa độ, ta đặt điểm \( B \):
\[
B(6, 0)
\]
- Điểm \( D \) có thể được tính bằng cách sử dụng góc \( \angle BAD \):
- \( D \) sẽ được xác định trong hệ tọa độ như sau:
\[
D \left( 6 \cos(120^\circ), 6 \sin(120^\circ) \right)
\]
\[
D \left( 6 \left( -\frac{1}{2} \right), 6 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \right) = D(-3, 3\sqrt{3})
\]

2. **Tính tọa độ điểm \( C \)**:
- Điểm \( C \) là điểm đối xứng của \( D \) qua \( A \), do đó tọa độ của nó sẽ là:
\[
C(3, -3\sqrt{3})
\]

3. **Tính toán vectơ \( \vec{BC} + \vec{BA} \)**:
- Vectơ \( \vec{BC} \) được tính bằng cách lấy tọa độ của điểm \( C \) trừ đi tọa độ của điểm \( B \):
\[
\vec{BC} = C - B = (3 - 6, -3\sqrt{3} - 0) = (-3, -3\sqrt{3})
\]
- Vectơ \( \vec{BA} \) được tính như sau:
\[
\vec{BA} = A - B = (0 - 6, 0 - 0) = (-6, 0)
\]

4. **Tính vectơ tổng**:
- Tổng \( \vec{BC} + \vec{BA} \):
\[
\vec{BC} + \vec{BA} = (-3, -3\sqrt{3}) + (-6, 0) = (-9, -3\sqrt{3})
\]

5. **Tính độ dài của vectơ tổng**:
- Độ dài của vectơ \( \vec{BC} + \vec{BA} \) được tính bằng công thức độ dài vectơ:
\[
|\vec{BC} + \vec{BA}| = \sqrt{(-9)^2 + (-3\sqrt{3})^2} = \sqrt{81 + 27} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3}
\]

Kết quả cuối cùng là:
\[
\text{Độ dài của vectơ } BC + BA = 6\sqrt{3}
\]