Để chứng minh các yêu cầu trên, ta sẽ xem xét lần lượt từng phần:

**a) Chứng minh BE = DE:**

Ta có tam giác ABC với \( AB < AC \) và AE là phân giác của góc A, do đó theo định lý phân giác, ta có:
\[
\frac{BE}{EC} = \frac{AB}{AC}
\]
Mặt khác, vì \( AD = AB \) (theo giả thiết), nên ta có tam giác ADB và ADC có:
- \( AD = AB \)
- \( AC = AC \)

Do đó, \( \frac{BD}{CD} \) cũng có tỉ lệ
\[
\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC}
\]
Vì cả hai tỉ lệ đều bằng nhau, ta suy ra rằng:
\[
BE = DE
\]
Vì vậy, ta có \( BE = DE \).

**b) Chứng minh AE vuông góc BD:**

Từ điều kiện thiết lập, AE là tia phân giác của góc A, còn AD = AB. Do đó, trong tam giác ABE và tam giác ABE, ta có:
- \( AE \) là tia phân giác,
- \( AB = AD \).

Như vậy, theo định lý tia phân giác, ta có:
\[
\angle ABE = \angle ADE
\]
Nhưng vì \( BE = DE \) (đã chứng minh phần a), suy ra \( \triangle ABE \cong \triangle ADE \) (cạnh-hai-cạnh). Từ đó, \( \angle ABE = \angle ADE \) và suy ra rằng AE vuông góc với BD.

**c) Gọi K là giao điểm của DE và AB. Chứng minh tam giác KBE = tam giác CDE:**

Từ phần a), ta đã chứng minh BE = DE. Bên cạnh đó, ta cũng có \( \angle KBE = \angle CDE \) (bởi vì AE vuông góc BD và AE là tia phân giác). Vậy nên ta có:
- \( KE = KB \)
- \( BE = DE \)
- \( \angle KBE = \angle CDE \)

Vậy từ giả thuyết, ta có \( \triangle KBE \cong \triangle CDE \).

**d) Chứng minh BD // KC:**

Gọi H là giao điểm của AE và KC. Để chứng minh BD // KC, ta cần chứng minh rằng AH vuông góc KC.

Từ phần b, ta đã biết rằng AE vuông góc BD. Do AE cũng là tia phân giác của góc A, ta có:
\[
\angle AHE = 90^\circ
\]
Nếu H là giao điểm của AE và KC, có nghĩa rằng góc AHE = góc KHC tương ứng, vì AE là phân giác.

Từ đó, ta có \( AH \) vuông góc với \( KC \), vì vậy, ta có \( BD // KC \).

Tóm lại, thông qua các bước chứng minh cụ thể, ta đã thành công trong việc chứng minh toàn bộ các yêu cầu đã đề ra trong bài toán.