Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, ta sẽ thực hiện theo từng bước cụ thể như sau:

### a) Chứng minh ΔABM = ΔACM.

1. **Cho tam giác ABC có AB = AC**:
- Theo giả thiết, ta có: AB = AC (điều này thỏa mãn điều kiện của tam giác cân).

2. **M là trung điểm của BC**:
- Do M là trung điểm của BC nên ta có: BM = MC.

3. **So sánh các cạnh trong hai tam giác**:
- Ta có:
- AB = AC (điều kiện tam giác cân)
- AM = AM (cạnh chung)
- BM = MC ( vì M là trung điểm của BC)

4. **Áp dụng tiêu chí cạnh-cạnh-cạnh (CC) của hai tam giác**:
- Từ những điều trên, theo tiêu chí cạnh-cạnh-cạnh, ta có:
- ΔABM = ΔACM.

### b) Chứng minh: AB // DC.

1. **Điều kiện về điểm D**:
- Trên tia đối của tia MA, ta lấy điểm D sao cho MD = MA. Khi đó, MA = MD.

2. **Chứng minh rằng AB // DC**:
- Xét hai đoạn thẳng MA và MD:
- Vì D nằm trên tia đối của MA và MD = MA, nên góc MAD là góc vuông (hai đoạn MA và MD cùng độ dài và ngược chiều).
- Từ đó, ta có:
- Góc MAB = Góc MAD (hai góc tạo bởi đoạn MA và đường thẳng AB).
- Tương tự, bởi vì MA và MD có độ dài bằng nhau và nằm đối xứng qua M thì ta có:
- Góc DAC = Góc MDC.
- Do đó, theo định lý về góc đồng vị, ta có: AB // DC.

### c) Chứng minh rằng: M là trung điểm của EF.

1. **Kẻ ME vuông góc với AB và MF vuông góc với DC**:
- E thuộc AB và F thuộc DC, với ME ⊥ AB và MF ⊥ DC.

2. **Sử dụng tính chất của đường vuông góc**:
- Vì ME ⊥ AB và MF ⊥ DC mà trước đó ta đã chứng minh AB // DC nên ME và MF tạo thành hai đoạn vuông góc.

3. **Tính chất trung điểm**:
- Ta có thể sử dụng tính chất hình vuông hoặc trực tiếp tính khoảng cách giữa hai đoạn thẳng:
- Xét tam giác vuông tại M cho cả ME và MF, khi đó:
- Trên đoạn EF, khoảng cách từ M đến EF sẽ là một đường trung gian tạo nên hai đoạn thẳng MP và MQ (với P là Projection của M lên EF).
- Vì vậy, phân tích hình có thể đưa đến việc M là trung điểm của đoạn thẳng EF.

### Kết luận

- Ta đã chứng minh được các yêu cầu trong bài toán:
- a) ΔABM = ΔACM.
- b) AB // DC.
- c) M là trung điểm của EF.