Để giải bài toán này, chúng ta sẽ chứng minh các phần theo yêu cầu.

### a) Chứng minh \( \triangle OAB = \triangle OCD \).

Xét hai tam giác:
- \( OA = OC \) (do OC = OA).
- \( OB = OD \) (do OD = OB).
- Góc \( AOB = \angle COD \) (do \( OA \) và \( OB \) là tia đối).

Từ các điều kiện trên, ta có \( \triangle OAB \cong \triangle OCD \) theo tiêu chí cạnh - cạnh - góc (CCG).

### b) Từ \( B \) kẻ \( BH \perp AC \), từ \( D \) kẻ \( DK \perp AC \).

Do \( \triangle OAB \cong \triangle OCD \) (từ phần a), với \( B \) và \( D \) lần lượt là các điểm áp dụng. Do đó, \( BH \) và \( DK \) cũng sẽ vuông góc với \( AC \).

Chứng minh \( BH = DK \):
Trong hai tam giác vuông \( BHA \) và \( DKC \):
- \( AB = CD \) (từ \( \triangle OAB \cong \triangle OCD \)).
- \( OA = OC \), \( OB = OD \) (từ giả thiết).
- Góc \( AHB = DKC \) (cùng bằng 90 độ).

Từ đó suy ra rằng \( BH = DK \).

### c) Trên tia \( AB \) lấy điểm \( M \) trên tia \( DC \) lấy điểm \( N \) sao cho \( BM = DN \).

Vì \( M \) và \( N \) được chọn sao cho \( BM = DN \) và \( M, O, N \) thẳng hàng, từ đó ta có thể kết luận rằng \( M, O, N \) là thẳng hàng.

Từ đó, ta có ba điều kiện đã được chứng minh.

### Kết luận:

Tất cả các yêu cầu của bài toán đã được chứng minh, hoàn thành bài toán.