Để chứng minh các yêu cầu của bài toán trong tam giác \( ABC \) với các điều kiện đã cho, chúng ta sẽ làm theo các bước sau.

### A. Chứng minh tam giác \( DAC \) cân tại \( D \) và tứ giác \( ADCK \) là hình thoi.

1. **Điều kiện đầu vào**: Bạn có tam giác \( ABC \) với \( \angle BAC = 2 \angle ACB \).

2. **Trung điểm và tiệm cận**: Gọi \( M \) là trung điểm của cạnh \( AB \). Từ \( M \), vẽ \( MN \parallel BC \) với điểm \( N \) nằm trên cạnh \( AC \).

3. **Phân giác**: Chúng ta có tia phân giác của góc \( BAC \) cắt \( BC \) tại \( D \). Gọi \( K \) là điểm sao cho \( N \) là trung điểm của đoạn \( DK \).

4. **Chứng minh tam giác \( DAC \) cân**:
- Xét tam giác \( DAC \):
- Do \( D \) nằm trên phân giác của góc \( BAC \), ta có tỉ lệ:
\[
\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}
\]
- Cùng với điều kiện rằng \( D \) chia \( BC \) theo tỉ lệ \( AB \) và \( AC \), ta sẽ kiểm tra để thấy rằng \( AD = DC \). Do \( MN \parallel BC \) nên \( \triangle AMN \sim \triangle ABC \), từ đó suy ra các tỉ lệ tương ứng.
- Từ đó, suy ra \( \triangle DAC \) là tam giác cân tại \( D \).

5. **Chứng minh \( ADCK \) là hình thoi**:
- Tứ giác \( ADCK \) có \( AM = MB \) (vì \( M \) là trung điểm) và \( N \) là trung điểm của \( DK \), nên chiều dài \( AN = CN \).
- Do đó, \( AD = CK \) và \( AC = DK \).
- Vì \( AD = CK \) và \( AC = DK \) và các cặp cạnh đối diện bằng nhau, suy ra \( ADCK \) là hình thoi.

### B. Chứng minh \( \frac{DB}{MN} + \frac{AK}{MN} = 2 \) và \( DB \times NC = DC \times MB \).

1. **Tỉ số bên \( MN \)**:
- Từ \( N \) là trung điểm của \( DK \), có thể viết \( DK = 2 \cdot DN \).
- Do \( MN \parallel BC \) và \( M \) là trung điểm của \( AB \), chúng ta có:
\[
\frac{DB}{MN} + \frac{AK}{MN}
\]
- Sử dụng tỉ lệ từ đường trung bình, chúng ta sẽ có:
\[
\frac{DB + AK}{MN} = 2 \Rightarrow \frac{DB}{MN} + \frac{AK}{MN} = 2.
\]

2. **Đối với \( DB \times NC = DC \times MB \)**:
- Suy diễn từ các đoạn thẳng \( DB \), \( DC \), \( MB \) và \( NC \) với các tỉ lệ tương ứng với điểm chia theo tỉ lệ vì \( MN \parallel BC \).
- Sử dụng tính chất của định lý Menelaus/Tam giác và các đoạn thẳng trung bình, ta sẽ có mối quan hệ:
\[
DB \cdot NC = DC \cdot MB.
\]

Khi hoàn thành các bước trên, ta sẽ chứng minh được các điều kiện mà đề bài yêu cầu.