Để tìm số dư của \(3^{2005} + 4^{2005}\) khi chia cho 11, ta sẽ sử dụng định lý Fermat.

### Phần a: Tìm số dư của \(3^{2005} + 4^{2005}\) khi chia cho 11

Theo định lý Fermat, với một số nguyên tố \(p\), nếu \(a\) là một số không chia hết cho \(p\), thì:

\[
a^{p-1} \equiv 1 \mod p
\]

Ở đây, \(p = 11\), do đó:

\[
3^{10} \equiv 1 \mod 11
\]
\[
4^{10} \equiv 1 \mod 11
\]

Bây giờ, chúng ta tính \(2005 \mod 10\):

\[
2005 \div 10 = 200 \quad \text{và} \quad 2005 \mod 10 = 5
\]

Như vậy:

\[
3^{2005} \equiv 3^5 \mod 11 \quad \text{và} \quad 4^{2005} \equiv 4^5 \mod 11
\]

Tính giá trị \(3^5 \mod 11\):

\[
3^1 \equiv 3
\]
\[
3^2 \equiv 9
\]
\[
3^3 \equiv 27 \equiv 5 \mod 11
\]
\[
3^4 \equiv 15 \equiv 4 \mod 11
\]
\[
3^5 \equiv 12 \equiv 1 \mod 11
\]

Tính giá trị \(4^5 \mod 11\):

\[
4^1 \equiv 4
\]
\[
4^2 \equiv 16 \equiv 5 \mod 11
\]
\[
4^3 \equiv 20 \equiv 9 \mod 11
\]
\[
4^4 \equiv 36 \equiv 3 \mod 11
\]
\[
4^5 \equiv 12 \equiv 1 \mod 11
\]

Kết luận:

\[
3^{2005} + 4^{2005} \equiv 1 + 1 = 2 \mod 11
\]

Vậy số dư của \(3^{2005} + 4^{2005}\) khi chia cho 11 là **2**.

### Phần b: Tìm số dư của \(B = 3^{2004} + 4^{2005}\) khi chia cho 12

Ta lần lượt tính \(3^{2004} \mod 12\) và \(4^{2005} \mod 12\).

Tính \(3^{2004} \mod 12\):

- Dễ thấy rằng:
\[
3^1 = 3
\]
\[
3^2 = 9
\]
\[
3^3 = 27 \equiv 3 \mod 12
\]
\[
3^4 = 81 \equiv 9 \mod 12
\]

Cứ lặp lại cho \(3\) và \(9\):

- Nếu chỉ xét \(n\) chẵn thì \(3^{n} \equiv 9 \mod 12\)
- Nếu \(n\) lẻ thì \(3^{n} \equiv 3 \mod 12\)

Rõ ràng \(2004\) chẵn nên:

\[
3^{2004} \equiv 9 \mod 12
\]

Tiếp theo, tính \(4^{2005} \mod 12\):

- Dễ dàng thấy rằng:
\[
4^1 = 4
\]
\[
4^2 = 16 \equiv 4 \mod 12
\]

Vì \(4^2\) và mọi lũy thừa cao hơn đều là \(4\) modulo 12, do đó:

\[
4^{2005} \equiv 4 \mod 12
\]

Cuối cùng, ta có:

\[
B = 3^{2004} + 4^{2005} \equiv 9 + 4 = 13 \equiv 1 \mod 12
\]

Vậy số dư của \(B = 3^{2004} + 4^{2005}\) khi chia cho 12 là **1**.

### Kết luận

a) Số dư của \(3^{2005} + 4^{2005}\) khi chia cho 11 là **2**.

b) Số dư của \(B = 3^{2004} + 4^{2005}\) khi chia cho 12 là **1**.