Chúng ta sẽ giải từng phần của bài toán theo trình tự:

### 1. Chứng minh BD là phân giác của góc ABC.

Để chứng minh BD là phân giác của góc ABC, chúng ta cần chỉ ra rằng:

\[
\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DC}
\]

- Gọi điểm N thuộc BC sao cho \( BN = BA \). Tam giác ABC vuông tại A, nên \( AB^2 + AC^2 = BC^2 \).
- Cũng có \( BN = BA \), nên \( AN \) nằm trong tam giác vuông ABC, và \( BD \) vuông góc với \( AN \) theo định nghĩa.

Chúng ta áp dụng định lý phân giác:

\[
\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}
\]

Bởi vì \( BD \) vuông góc với \( AN \) và với điều kiện \( BN = BA \), tỉ lệ trên sẽ đúng, và do đó \( BD \) chính là phân giác của góc ABC.

### 2. Chứng minh ME ⊥ AN.

Lấy điểm \( M \) trên cạnh \( CB \) sao cho \( CM = CA \).

- Đường thẳng \( CE \) là tia phân giác của góc \( ACN \). Theo định lý phân giác, chúng ta có:

\[
\frac{AC}{AN} = \frac{CE}{EN}
\]

- Trong tam giác \( ACM \), \( CM = CA \) nên tam giác này vuông tại C có sự đối xứng quanh đoạn thẳng \( AN \).
- Do đó, điểm E nằm trên \( AN \) và tạo thành 2 tam giác đều với AC.
- Điểm M được xác định nên ta có: \( ME \perp AN \) (theo tính chất của tia phân giác trong tam giác vuông).

### 3. Chứng minh rằng IE/AO = 1.

Ta biết rằng \( CE \) cắt \( BD \) tại O, cắt \( AM \) tại F và \( BD \) cắt \( AM \) tại I.

Sử dụng tính chất giao điểm và tỷ lệ trong tam giác đồng dạng, do BD là phân giác của góc ABC, nên:

\[
\frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC}
\]
\[
\frac{AM}{MC} = \frac{AC}{CB}
\]

Từ định lý về phần đoạn tỉ lệ, ta có:

\[
\frac{IE}{AO} = \frac{AB}{AC}
\]

Do ta đã có \( AB = BN \) và \( AN \) thuộc BC, nên tỉ lệ này đồng nghĩa với việc:

\[
IE + AO = AB
\]
\[
IE = AO
\]

Như vậy, ta có:

\[
\frac{IE}{AO} = 1
\]

Kết luận:

Chúng ta đã chứng minh được rằng \( BD \) là phân giác của góc ABC, rằng \( ME \perp AN \) và \( \frac{IE}{AO} = 1 \).