Cho tam giác \( ABC \) cân tại \( A \), với \( AB = AC \) và \( M \) là trung điểm của \( BC \).

a) Để chứng minh tam giác \( ABM \) bằng tam giác \( ACM \), ta sẽ sử dụng tiêu chí đồng dạng của tam giác. Ta có:

1. \( AB = AC \) (định nghĩa của tam giác cân).
2. \( BM = CM \) (vì \( M \) là trung điểm của \( BC \)).
3. \( AM \) là cạnh chung của hai tam giác \( ABM \) và \( ACM \).

Từ ba yếu tố trên, chúng ta có:
- Cạnh \( AB \) tương ứng với cạnh \( AC \).
- Cạnh \( BM \) tương ứng với cạnh \( CM \).
- Cạnh \( AM \) là cạnh chung.

Từ đó, theo tiêu chí \( \text{Cạnh - Cạnh - Cạnh} \) (CC) trong hình học, suy ra tam giác \( ABM \) bằng tam giác \( ACM \) (ký hiệu là \( \triangle ABM \cong \triangle ACM \)).

b) Để xem \( AM \) có phải là đường trung trực của \( BC \) hay không, chúng ta xác định rằng:

- Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó và vuông góc với đoạn thẳng đó.
- \( M \) là trung điểm của \( BC \), và tam giác \( ABC \) cân tại \( A \) nghĩa là \( A \) nằm trên trung trực của \( BC \).

Vì vậy, \( AM \) sẽ vuông góc với \( BC \) (từ tính chất của tam giác cân), nên \( AM \) chính là đường trung trực của đoạn thẳng \( BC \).

Kết luận:
- a) \( \triangle ABM \cong \triangle ACM \).
- b) \( AM \) là đường trung trực của \( BC \) vì nó đi qua trung điểm \( M \) và vuông góc với đoạn thẳng \( BC \).