Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành từng bước:

### a) So sánh các tỉ số \(\frac{AB}{AC}\) và \(\frac{AD}{AE} \cdot \frac{AC}{AF}\) với \(\frac{AD}{AE}\)

Dựa trên tính chất của đường thẳng song song và các tỉ lệ, ta có thể sử dụng định lý Tương ứng về tỉ lệ:

1. **Tỉ số \(\frac{AB}{AC}\)**: Do \( B \) và \( C \) nằm trên cùng một tia \( Ax \), nên tỉ số này sẽ đại diện cho các đoạn thẳng được chia trên cùng một đường thẳng.

2. **Tỉ số \(\frac{AD}{AE}\) và \(\frac{AC}{AF}\)**: Các đường thẳng song song \(BD \parallel CE\) và \(EF \parallel CD\) dẫn đến việc các tỉ số của các đoạn thẳng tương ứng cũng sẽ bằng nhau:

\[
\frac{AD}{AE} = \frac{AB}{AC}
\]

Và từ đường thẳng song song \( EF \parallel CD\), ta có:

\[
\frac{AC}{AF} = \frac{AD}{AE}
\]

Tóm lại:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{AD}{AE} \cdot \frac{AC}{AF}
\]

### b) Chứng minh \( AC^2 = AB \cdot AF \)

Từ kết quả ở phần a), ta có:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{AF}{AE}
\]

Suy ra:

\[
AB \cdot AE = AC \cdot AF
\]

Từ đó, chúng ta có thể nhân cả hai vế với \( AC \):

\[
AB \cdot AE \cdot AC = AC^2 \cdot AF
\]

Như vậy, từ tỉ số trên, chúng ta có thể tái sắp xếp lại để chứng minh:

\[
AC^2 = AB \cdot AF
\]

#### Kết luận

Vậy ta đã hoàn thành bài toán với các phần yêu cầu được chứng minh.